Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

45⎛ 1 ⎞ (4n− 3) πvà f ⎜ ⎟ = sin = 1 ∀n, nên đối với dãy thứ nhất⎝(4n− 3) π ⎠ 2(4n− 3) πlim f( xn) = limsin nπ = 0 và đối với dãy thứ hai lim f( xn) = limsin = 1. Vậy,n→∞n→∞n→∞n→∞2theo định nghĩa, lim f( x ) không tồn tại.n→∞1Ví dụ 6: Sử dụng định nghĩa 2, chứng minh rằng hàm f( x) = xsinđược xác định với mọix1x ≠ 0 , tại điểm x = 0 có giới hạn bằng 0, tức là lim xsin = 0.x→0xThật vậy, với mọi x ≠ 0 , ta có1vì sin ≤ 1 ∀x ≠ 0 ).x1f( x) − 0 = xsin − 0 =x1 1= xsin= x sin ≤ xx x(bởiTừ đây suy ra nếu lấy δ ≤ ε thì khi |x| a (hoặc x < a).Hàm số f(x) có giới hạn L khi x dần đến a từ bên phải nếu đối với mỗi số ε >0 ta có thểtìm được số δ > 0 sao cho đối với mọi x∈ A, x∈ ( a, a+δ ) ta có f( x)− L < ε .Ta gọi giới hạn trên là giới hạn bên phải tại a của hàm f(x) và kí hiệu là+lim f( x) = lim f( x) = f( a ).+x→ax→ a,x>aTương tự, ta gọi L là giới hạn bên trái tại a của hàm f(x) nếu ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 sao chox ∈ Ax , ∈( a−δ , a)ta có f( x)− L < ε và kí hiệu là−lim f( x) = lim f( x) = f( a ).−x→ax→ a,x