Giải tích toán học Tập 1 Lê Văn Trực - Đại học Duy Tân

2701≤ + + + = = − log2ε2) Với ε > 0 tùy ý và với mọi số tự nhiên p, ta có:= 1 1 1( n+ 1) − ( n+p+ 1) < n+ 1< ε , 1∀ n > −1.ε2.9. 1) Giả sử ε ∈ ( 0,1), vìcos( n+1)! cos( n+2)! cos( n+p)!xn+ p− xn= + + ... +( n+1)( n + 2) ( n+2)( n + 3) ( n+p)( n + p + 1)1 1 1≤ + + ... +( n+ 1)( n + 2) ( n + 2)( n + 3) ( n+p)( n + p + 1)1 1 1 1 1 1= − + − + ... + −( n+ 1) ( n+ 2) ( n+ 2) ( n+ 3) ( n+p) ( n+p+ 1)1 1 1 pxn+ p− xn= + + ...... + > , nên khi p = n ta có( n+ 1) ( n+ 2) ( n+p) ( n+p)1xn+ p− xn> > ε ∀ n , vậy dãy phân kì22) Dãy phân kì do:1 1 1 p p 1xn+ p− xn= + + ... + > > = khi p = nln( n+ 1) ln(n + 2) ln( n+p) ln( n+p) ( n+p) 22.10.1) Hiển nhiên dãy đơn điệu tăng và bị chặn trênxn< 3 ∀ n , nên dãy hội tụ.pn+12) Bởi vì xn+ 1− xn = ≥0⇒ xn 1 n+1≥ x+nlà dãy tăng. Mặt khác109 9 9xn≤ p0 + + + ...... + + ... = p20+ 1,n10 10 10suy ra dãy bị chặn trên. Do đó dãy có giới hạn hữu hạn.3) Trước hết ta thấyxn+111 1n 1x= + +n2> , do đó dãy tăng.Mặt khác⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 1 1ln x n= ln ⎜1+ ⎟+ ln ⎜1 + ⎟+ ... + ln ⎜1 + ...2 4 2 n ⎟< + + +2 4 2 n⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠270