Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Der Raum wird als homogen und isotrop betrachtet. Homogenität bedeutet, daß kein Punkt ausgezeichnetist, insbesondere ist auch kein Punkt als Ursprung des Koordinatensystems ausgezeichnet.Die Wahl des Ursprungs ist daher wieder Konvention. Wir betrachten wieder zwei KoordinatensystemO und O ′ , die sich durch eine unterschiedliche Wahl des Koordinatenurpsrungsunterscheiden. Wir können wieder die Koordinaten (x,y,z) im System O in die entsprechendenKoordinaten (x ′ ,y ′ ,z ′ ) im System O ′ transformieren:x ′ = x − x 0 ,y ′ = y − y 0 ,z ′ = z − z 0 ,wobei (x 0 ,y 0 ,z 0 ) die Koordinaten des Ursprungs des Systems O ′ in O sind. Sei nun O ′′ einweiteres Koordinatensystem. Die Transformation von O ′ nach O ′′ sei gegeben durchx ′′ = x ′ − x 1 ,y ′′ = y ′ − y 1 ,z ′′ = z ′ − z 1 .Dann definiert die Hintereinanderausführung dieser beiden Transformationen eine Transformationvon O nach O ′′ , deren explizite Form durchx ′′ = x −(x 0 + x 1 ),y ′′ = y −(y 0 + y 1 ),z ′′ = z −(z 0 + z 1 ).gegeben ist. Ebenso gibt es zu jeder Transformation von O nach O ′ eine Rücktransformationvon O ′ nach O. Ausserdem existiert die triviale Transformation von O nach O. Die Menge allerTransformationen des Ursprunges bilden daher eine Gruppe, die isomorph zu der AbelschenGruppe (R 3 ,+) ist. Diese Gruppe bezeichnet man als die Gruppe der Ortstranslationen. Ist einphysikalisches System invariant unter dieser Gruppe, so folgt hieraus – wie wir später sehen werden– die Impulserhaltung.Isotropie bedeutet, daß keine Richtung im Raum ausgezeichnet ist. Insbesondere können wir dieRichtung der drei Koordinatenachsen frei wählen. Wir betrachten wieder zwei KoordinatensystemeO und O ′ . Der Einfachheit halber wollen wir zunächst annehmen, daß in beiden Systemen derUrsprung gleich gewählt wurde. Sei (⃗e 1 ,⃗e 2 ,⃗e 3 ) eine Orthonormalbasis des KoordinatensystemsO und (⃗e ′ 1 ,⃗e′ 2 ,⃗e′ 3 ) eine Orthonormalbasis des Koordinatensystems O′ . Des weiteren nehmen wiran, daß beide Basen rechtshändig orientiert sind. Dann transformieren sich die Koordinaten vonO nach O ′ wie folgt:⎛⎝x ′y ′z ′ ⎞⎠ =⎛⎝⎞⎛R 11 R 12 R 13R 21 R 22 R 23⎠⎝R 31 R 32 R 3310x ′ ⎞y ′ ⎠z ′