Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Ab jetzt werden wir in dieser Vorlesung nur noch das Gaußsche Maßsystem verwenden. DieMaxwellschen Gleichungen lauten demzufolge:Im Vakuum haben wir⃗ ∇ ·⃗B(t,⃗x) = 0,⃗ ∇ × ⃗E(t,⃗x)+ 1 ∂c ∂t ⃗ B(t,⃗x) = 0,⃗ ∇ ·⃗D(t,⃗x) = 4πρ(t,⃗x),⃗ ∇ × ⃗H(t,⃗x) − 1 ∂c ∂t ⃗ D(t,⃗x) = 4π c ⃗ j(t,⃗x).⃗D(t,⃗x) = ⃗E(t,⃗x),⃗H(t,⃗x) = ⃗B(t,⃗x).Die Lorentz-Kraft:(⃗F(t,⃗x) = q ⃗E(t,⃗x)+ ⃗v )c × ⃗B(t,⃗x) .4.3 Elektromagnetische Potentiale und Eichinvarianz4.3.1 Skalare Potentiale und VektorpotentialeAus der Mathematik ist bekannt, daß ein Vektorfeld, dessen Rotation verschwindet, sich alsGradient einer skalaren Funktion darstellen läßt:⃗ ∇ × ⃗V = 0=⇒ ⃗V = ⃗ ∇Φ.Ebenso ist bekannt, daß ein divergenzfreies Vektorfeld sich als die Rotation eines weiteren Vektorfeldesschreiben läßt:⃗ ∇ ·⃗V = 0=⇒ ⃗V = ⃗ ∇ ×⃗A.Bezogen auf die Maxwellschen Gleichungen führen wir nun zwei Hilfsfelder Φ und ⃗A, so daßdie beiden homogenen Maxwellschen Gleichungen identisch erfüllt sind. Ausfolgt⃗ ∇ ·⃗B(t,⃗x) = 0⃗B(t,⃗x) = ⃗ ∇ ×⃗A(t,⃗x).Das Hilfsfeld ⃗A(t,⃗x) nennt man das Vektorpotential. Setzt man den Ausdruck für ⃗B in die zweiteMaxwellsche Gleichung ein, so erhält man(⃗ ∇ × ⃗E(t,⃗x)+ 1 )∂c ∂t ⃗ A(t,⃗x) = 083