Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Als nächstes betrachten wir den Endpunkt. In S ′ hat dieser die Koordinaten t ′ und x ′ = l ′ . In Sfindet manx B = βγct ′ + γl ′ , ct = γct ′ + βγl ′ .Für die Weltlinie des Endpunktes findet man daher im System Sx B (t) = β ( ct − βγl ′) + γl ′ = vt + γ ( 1 − β 2) l ′ = vt + l′γ .Somit hat der Stab im System S die Längel = x B (t) − x A (t) = l′γ = l′ √1 − v2c 2.Der Stab erscheint also im System S um den Faktor √ 1 − v 2 /c 2 verkürzt. Dies bezeichnet manals die Längenkontraktion.3.6 Die ZeitdilatationWir betrachten wieder zwei Inertialsysteme S und S ′ , wobei S ′ sich mit konstanter Geschwindigkeitv gegenüber S längs der x-Achse bewegt. Der Ursprung und die Orientierung der Achsensein in beiden Systemen S und S ′ gleich.Im System S befinden sich ruhend entlang der x-Achse eine Anzahl von Uhren, die miteinandersynchronisiert sind.Wir betrachten nun eine weitere Uhr, die im System S ′ im Ursprung ruht und daher sich imSystem S mit konstanter Geschwindigkeit entlang der x-Achse bewegt. Diese Uhr wird zum Zeitpunktt 0 = t0 ′ = 0 mit der Uhr die sich ruhend im Urpsrung des Systems S befindet synchronisiert.Betrachten wir zunächst die Uhr im System S. Da sie sich mit der Geschwindigkeit v bewegt,hat sie zum Zeitpunkt t 1 den Ort x 1 = vt 1 erreicht.Andererseits ruht die Uhr im System S ′ . Der Raumzeitpunkt (ct 1 ,x 1 ) im System S hat also imSystem S ′ die Koordinaten (ct1 ′,0). Wir möchten nun t′ 1bestimmen. Aus der Invarianz des Abstandsquadratesfolgtc 2 t 2 1 − x2 1 = c 2 t ′ 12 ,und somitt ′ 1 = t 1√1 − x2 1c 2 t 2 1= t 1√1 − v2c 2.Die bewegte Uhr zeigt also eine um den Faktor √ 1 − v 2 /c 2 verkürzte Zeit an. In anderen Worten:Bewegte Uhren gehen langsamer. Diesen Effekt bezeichnet man als Zeitdilatation.65