Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Wir können dies etwas verallgemeinern und eine Uhr betrachten die sich beliebig bewegt (nichtnotwendiger Weise mit konstanter Geschwindigkeit). Sei S ′ das Koordinatensystem, in dem dieUhr ruht. Dies ist dann nicht notwendigerweise ein Inertialsystem. Die Bewegung der Uhr könnenwir näherungsweise durch eine Sequenz geradliniger-gleichförmiger Bewegungen beschreiben.In einem Inertialsystem S legt die Uhr in einem infinitessimalen Zeitintervall dt die Strecke√dx 2 + dy 2 + dz 2zurueck. Gefragt wird, welches Zeitintervall dt ′ sie danach anzeigt. Aus der Invarianz des Abstandesfolgt:und daherdt ′c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 = c 2 dt ′ 2= dt√Integration liefert für eine beliebige Bewegung1 − dx2 + dy 2 + dz 2c 2 dt 2t ′ 1 =Z t 10dt√1 − v2c 2,= dt√1 − v2c 2.wobei wir t0 ′ = t 0 = 0 gesetzt haben. Man bezeichnet t1 ′ als die Eigenzeit der Uhr bzw. desSystems S ′ . Man verwendet oft den Buchstaben τ für die Eigenzeit. Für die infinitessimale Größegilt√dτ = dt 1 − v2c 2.Durch Multiplikation mit c rechnet man auf eine Größe mit der Dimension einer Länge um:Ebensogilt für die infinitessimale Größedss= cτ.= cdτ = cdt√1 − v2c 2.Bemerkung 1: Die Eigenzeit eines sich bewegenden Gegenstandes ist immer kleiner als das entsprechendeZeitintervall im unbewegten System.Bemerkung 2: Die ist kein Widerspruch zum Relativitätsprinzip, da zum Vergleich eine Uhrim “bewegten” System, aber mehrere Uhren im “unbewegten” System notwendig sind.Bemerkung 3: Auch eine Uhr, die auf einer geschlossenen Kurve bewegt wird, stellt keine Widerspruchdar, da sie sich nicht dauernd in einem Inertialsystem befinden kann.66