Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

2.7 Der harmonische OszillatorDer harmonische Oszillator ist ein Beispiel für ein physikalisches System mit einer Bewegungin einer Dimension. Bei einem harmonischen Oszillator ist die rücktreibende Kraft proportionalzur Auslenkung. Die Kraft ist gegeben durch⃗F= −mω 2 0 ⃗x.Hier haben wir das Koordinatensystem schon so gewählt, daß x = 0 die Ruhelage darstellt. Dawir ein ein-dimensionales System betrachten, ist ⃗x ∈ R 1 . Wir betrachten zunächst den Fall, indem weder Reibung noch eine äußere Kraft vorliegt. Aus der Bewegungsgleichung⃗F= m⃗aerhalten wir¨⃗x+ω 2 0⃗x = 0.Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Ein Lösungsfundamentalsystemist gegeben durch die Funktionenso daß die allgemeine Lösung lautete iω 0t , e −iω 0t ,⃗x(t) = ⃗c 1 e iω 0t +⃗c 2 e −iω 0t .Sucht man die Lösungen zu den Anfangsbedingungen ⃗x(0) =⃗x 0 und ˙⃗x(0) =⃗v 0 , so erhält mandas lineare GleichungssystemAls Lösung findet man⃗c 1 = 1 2⃗c 1 +⃗c 2 = ⃗x 0 ,iω 0 ⃗c 1 − iω 0 ⃗c 2 = ⃗v 0 .(⃗x 0 − i ⃗v 0), ⃗c 2 = 1 (⃗x 0 + i )⃗v 0 .ω 0 2 ω 0Somit hat man die Lösung zur gewünschten Anfangsbedingung:⃗x(t) = 1 (⃗x 0 − i ⃗v 0)e iω0t + 1 (⃗x 0 + i )⃗v 0 e −iω0t .2 ω 0 2 ω 0Bemerkung: Auch wenn in der rechten Seite explizit imaginäre Ausdrücke auftreten, so ist dieLösung doch rein reell, d.h. alle Imaginärteile heben sich weg. Dies sieht man durch die Ersetzunge iω 0t = cos(ω 0 t)+isin(ω 0 t),e −iω 0t = cos(ω 0 t) − isin(ω 0 t).28