Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Wir bemerken noch, daß für das Vorliegen eines konservativen Kraftfeldes es zu fordern genügt,daß das Wegintegral über jeden geschlossenen Weg verschwindet.Mit Hilfe des Satzes von Stoke läß sich diese Aussage wie folgt umformulieren:I Z (0 = ⃗F · d⃗r = ⃗∇ × ⃗F)· ˆndσ,γwobei A die von γ umschlossene Fläche, dσ ein infinitessimales Flächenelement und ˆn den Normalenvektorzu diesem Flächenelement beschreibt. Weiter gilt⎛∂∂y⃗ ⎜F z − ∂ ∂z F ⎞y∇ ×∂ ⃗F = ⎝ ∂z F x − ∂ ∂x F ⎟z ⎠.∂∂x F y − ∂ ∂y F xDiese Größe bezeichnet man auch als Rotation von ⃗F:Arot ⃗F= ⃗ ∇ ×⃗F.Da die obige Gleichung für beliebige geschlossene Kurven und somit beliebige umschlossenenFlächen A gilt, gilt sie auch im Infinitessimalen. Daher folgt das der Integrand des Integrals überA verschwinden muß. Wir erhalten somit die folgende Aussage: Ein Kraftfeld ist genau dannkonservativ, falls⃗ ∇ × ⃗F = 0gilt, d.h∂∂y F z − ∂ ∂z F y = 0,∂∂z F x − ∂ ∂x F z = 0,∂∂x F y − ∂ ∂y F x = 0.2.6 Allgemeine Aussagen über N-TeilchensystemeWir betrachten nun ein System von n Teilchen an den Orten ⃗x 1 , ⃗x 2 , ..., ⃗x n mit den Massen m 1 ,m 2 , ..., m n . Die inneren Kräfte, die von Teilchen j auf Teilchen i wirken, bezeichnen wir mit ⃗F i j ,eventuell auftretende äußere Kräfte, welche auf Teilchen i wirken, bezeichnen wir mit K i .Für die Gesamtmasse des Systems führen wir die BezeichnungM =n∑ m ii=1ein, den Schwerpunkt des Systems bezeichnen wir mit⃗X = 1 M21n∑i=1m i ⃗x i .