Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

4.2.3 Die KontinuitätsgleichungWir bestimmen zunächst die lokale Form der Kontinuitätsgleichung und wenden uns erst danachdem Gesetz von Biot und Savart zu. Die integrale Form der Kontinuitätsgleichung lautete:ZAdS ⃗j(t,⃗x) · ˆn= − d dtZV(A)d 3 x ρ(t,⃗x).Wir wenden wieder den Gaußschen Satz auf die linke Seite an:ZZdS ⃗j(t,⃗x) · ˆn = d 3 x ⃗ ∇ ·⃗j(t,⃗x).Es folgt dannAV(A)⃗ ∇ ·⃗j(t,⃗x) = − ∂ ∂t ρ(t,⃗x)und∂∂t ρ(t,⃗x)+⃗ ∇ ·⃗j(t,⃗x) = 0.4.2.4 Das Gesetz von Biot und SavartDie integrale Form des Gesetzes von Biot und Savart lautet:⃗H(t,⃗x) =f ZBS4πd 3 x ′ ⃗j(t,⃗x ′ ) ×⃗x −⃗x′|⃗x −⃗x ′ | 3.Zur Erinnerung: Die Konstante f BS hat den Wert f BS = 1 im SI-System und den Wert f BS = 4π/cim Gaußschen Maßsystem. Wie man leicht nachrechnet, gilt⃗x −⃗x ′ ( ) ( )|⃗x −⃗x ′ | 3 = − ⃗ 1∇ x|⃗x −⃗x ′ =|⃗ 1∇ x ′|⃗x −⃗x ′ |Somit⃗H(t,⃗x) = − f ZBS4π= f BS4π ⃗ ∇ x ×( )d 3 x ′ ⃗j(t,⃗x ′ ) × ⃗ 1∇ x|⃗x −⃗x ′ |Z ( ) 1d 3 x ′ ⃗j(t,⃗x ′ )|⃗x −⃗x ′ |Der Vorzeichenwechsel kommt von der Vertauschung der Reihenfolge im Vektorprodukt. Nunnimmt man auf beiden Seiten die Rotation und benützt( )⃗ ∇ × ⃗∇ × ⃗V = ⃗ )∇(⃗∇ ·⃗V − ∆⃗V.79