Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren Lösung durch⃗x(t) = ⃗vt +⃗x 0gegeben ist. Hierbei sind⃗v und⃗x 0 Integrationskonstanten. Wir sehen, daß die Lösung geradeeine Bewegung entlang einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit beschreibt,im Einklang mit dem ersten Newtonschen Gesetz.• Wir haben gesehen, daß die Bahn eines freien Teilchens vollständig durch die Bewegungsgleichungund der beiden Anfangsbedingungen ( Ort und Geschwindigkeit zum Zeitpunktt = 0 ) festgelegt ist. Dies gilt allgemein: In einem System mit N Teilchen sind – unterrelativ schwachen Voraussetzungen – die Bahnen aller Teilchen durch die Bewegungsgleichungenund die Anfangsbedingungen (Ort und Geschwindigkeit eines jeden Teilchenszum Zeitpunkt t = t 0 ) festgelegt. Man spricht von einer deterministischen Theorie. Wirwerden dies im Rahmen der N-Teilchensysteme noch genauer diskutieren.2.5 KräfteWir haben bereits gesehen, daß die Gravitationskraft zwischen zwei Teilchen der Massen m i undm j durch⃗F i j = Gm i m j⃗x j −⃗x i∣ ⃗x j −⃗x i∣ ∣3gegeben ist. Sind die Teilchen zusätzlich elektrisch geladen, so treten zusätzlich zur Gravitationskraftnoch elektromagnetische Kräfte auf, die anziehend oder abstossend sein können. Esempfiehlt sich daher, die Kräfte zwischen zwei Teilchen etwas abstrakter zu diskutieren. Im folgendenwollen wir Zentralkräfte und konservative Kräfte genauer studieren.2.5.1 ZentralkräfteDas Newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt die Kraft auf ein Teilchen mit der Masse m, welchessich im Kraftfeld eines Teilchens der Masse M zu:⃗F= −GmM ⃗x|⃗x| 3 = −GmM ⃗x|⃗x| 2 |⃗x| .Hierbei haben wir das Koordinatensystem so gewählt, so daß sich das Teilchen mit der Masse Mam Ursprung befindet. Man spricht hier von einer Zentralkraft. Unter einer Zentralkraft verstehtman eine Kraft, die immer auf einen Punkt oder von ihm weg gerichtet ist. Wählt man diesenPunkt als Ursprung des Koordinatensystems, so ist eine Zentralkraft von der Form⃗F= f(r) ˆx,18