Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Wir definieren den metrischen Tensor g µν durch⎛g µν =⎜⎝Das Abstandsquadrat läßt sich dann schreiben als:1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1⎞⎟⎠ .s 2 ab =3 3∑ ∑µ=0 ν=0g µν(xµa − x µ b)(xνa − x ν b ).Einsteinsche Summenkonvention: Solche Summen werden üblicherweise unter Fortlassungdes Summenzeichens geschrieben. Allgemein soll die Regel gelten, daß über Indizes, die paarweiseauftreten, summiert wird, das Summationszeichen aber nicht aufgeschrieben wird. Dabeimuß in jedem Paar der eine Index oben stehen, der andere unten stehen.Also:s 2 ab = g µν (x a − x b ) µ (x a − x b ) ν .Wir nennen einen Vierervektor x µ mit einem oberen Index einen kontravarianten Vektor, einVierervektor x µ mit einem unteren Index wird kovarianter Vektor genannt. Der Zusammenhangzwischen ko- und kontra-varianten Vektoren ist durchx µ= g µν x νgegeben. Damit hat mankontravariant : x µ = ( x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3) ,kovariant : x µ = (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ) = ( x 0 ,−x 1 ,−x 2 ,−x 3) .Somit läßt sich das Abstandsquadrat auch schreiben alss 2 ab = (x a − x b ) µ (x a − x b ) µ = (x a − x b ) µ (x a − x b ) µ .Bemerkung: Die durch die quadratische Form g µν = diag(1,−1,−1,−1) definierte Geometrieist keine euklidische Geometrie. Man nennt sie pseudoeuklidische Geometrie. Der spezielle Falleines vierdimensionalen Raumes mit der Metrik diag(1,−1,−1,−1) wird auch als Minkowski-Raum bezeichnet.3.3 Die LorentztransformationGesucht: Formel, die es uns gestattet, aus den Koordinaten x,y,z,t eines Ereignisses in einem BezugssystemS die Koordinaten x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ desselben Ereignisses in einem anderen InertialsystemS ′ zu berechnen.59