Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Dieses Signal trifft zur Zeit t 2 am Punkt (x 2 ,y 2 ,z 2 ) ein (Ereignis 2). Da sich das Signal mitGeschwindigkeit c ausbreitet, hat es die Entfernungc(t 2 −t 1 )zurückgelegt. Anderseits ist die Entfernung natürlich√(x 1 − x 2 ) 2 +(y 1 − y 2 ) 2 +(z 1 − z 2 ) 2 .Daher gilt:c 2 (t 2 −t 1 ) 2 −(x 1 − x 2 ) 2 −(y 1 − y 2 ) 2 −(z 1 − z 2 ) 2 = 0.In S ′ seien die Koordinaten des ersten Ereignisses x ′ 1 ,y′ 1 ,z′ 1 ,t′ 1 und die des zweiten Ereignissesx ′ 2 ,y′ 2 ,z′ 2 ,t′ 2. Wegen der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gilt auch in diesem Systemc 2 (t ′ 2 −t ′ 1) 2 −(x ′ 1 − x ′ 2) 2 −(y ′ 1 − y ′ 2) 2 −(z ′ 1 − z ′ 2) 2 = 0.Diese Gleichungen motivieren die folgende Definition: Sind x 1 ,y 1 ,z 1 ,t 1 und x 2 ,y 2 ,z 2 ,t 2 die Koordinatenvon zwei beliebigen Ereignissen, so heißt die Größes 2 12 = c 2 (t 2 −t 1 ) 2 −(x 1 − x 2 ) 2 −(y 1 − y 2 ) 2 −(z 1 − z 2 ) 2das Abstandsquadrat zwischen diesen beiden Ereignissen.Bemerkung: Wie man unmittelbar sieht, kann nach dieser Definition das Abstandaquadrat positiv,negativ oder Null sein. Das Abstandsquadrat ist Null, fall die beiden Ereignisse durch einenLichtstrahl verbunden werden können.Wir verwenden die folgenden Sprechweisen:s 2 12 > 0s 2 12 < 0s 2 12 = 0zeitartiger Abstand;raumartiger Abstand;lichtartiger Abstand;Aus den obigen Überlegungen bezüglich der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit in den SystemenS und S ′ folgt: Verschwindet das Abstandsquadrat zwischen zwei Ereignissen in einemBezugssystem, so auch in allen anderen.Es gilt sogar die folgende allgemeinere Behauptung: Das Abstandsquadrat zwischen zwei Ereignissenist in allen Bezugssytemen gleich.Beweis: Wir unterteilen das enliche Intervall zwischen der Ereignissen 1 und 2 in unendlich vieleinfinitessimale Intervalle und zeigen zunächst, daß das infinitessimale Abstandsquadrat in allenInertialsystemen gleich ist. Sind zwei Ereignisse infinitessimal benachbart, so ist das Abstandsquadratds 2 = c 2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 .56