Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Indizes (kontravariante und kovariante Komponenten). Der Zusammenhang ist wieder durch denmetrischen Tensor gegeben:T µ ν = g νρ T µρ ,T µν = g µρ g νσ T ρσTensoren mit bestimmten Symmetrieeigenschaften: Ein Tensor heißt symmetrisch falls giltEin Tensor heißt antisymmetrisch, fallsS µν = S νµA µν = −A νµgilt. Insbesondere gilt für einen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe A 00 = A 11 = A 22 =A 33 = 0.Beispiele für Tensoren in der speziellen Relativitätstheorie:Rang 1: Ortsvektor x µ , Impulsvektor p µ .Rang 2: Metrischer Tensor g µν .Rang 4: Total antisymmetrischer Tensor (Levi-Civita-Tensor) ε µνρσ . Der total antisymmetrischerTensor ist definiert durchε 0123 = 1,εµνρσεµνρσεµνρσ= 1 falls (µ,ν,ρ,σ eine gerade Permutation von (0,1,2,3) ist,= −1 falls (µ,ν,ρ,σ eine ungerade Permutation von (0,1,2,3) ist,= 0 sonst.Der total antisymmetrische Tensor ist ein Pseudotensor, er ändert bei Raumspiegelung und Zeitumkehrseine Komponenten nicht.Das Produkt ε µνρσ ε αβγδ bildet einen Tensor achter Stufe, wobei dieser Tensor echt ist. DurchVerjüngung bezüglich ein oder mehrerer Indexpaare erhalten wir Tensoren sechster, vierter oderzweiter Stufe. Alle diese Tensoren haben dieselbe Gestalt in allen Koordinatensystemen. Daherlassen sie sich durch δ µ ν ausdrücken, des einzigen echten Tensors, dessen Komponenten in allenKoordinatensystemen dieselben sind.ε µνρσ ε αβγδ= −∣δ µ α δ µ βδ µ γ δ µ δδ ν α δ ν βδ ν γ δ ν δδ ρ α δ ρ βδ ρ γ δ ρ δδ σ α δσ βδ σ γ δ σ δ,∣72