Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

gegeben ist. Dies zeigt man wie folgt:˙ ⃗L =n∑ i(˙⃗xi ×i=1m ˙⃗x) n (i + ∑ i ⃗xi ×i=1m ¨⃗x) n (i = ∑ i ⃗xi ×i=1m ¨⃗x) ni = ∑ ⃗x i ×i=1()∑⃗F i j +⃗K i =j≠in∑i=1⃗x i ×⃗K i .Energiesatz: Die zeitliche Änderung der gesamten inneren Energie ist gleich der Leistung deräußeren Kräfte:wobeinddt (T +U) = ∑ ⃗v i ·⃗K i ,i=1T =U =n∑i=1n∑i=1T i =n∑i=112 m i˙⃗x 2 i ,n (∣ ∣) ∑ V ∣⃗xi i j −⃗x j .j=i+1Beweis: Wir verwenden die Annahme, daß die inneren Kräfte Potentialkräfte sind. Somit lautetdie i-te Bewegungsgleichungm i¨⃗xi(∣ ∣) = ⃗ −∑ ∇i V ∣⃗xi i j −⃗x j + ⃗K i .j≠iMultipliziert man diese Gleichung mit ˙⃗x i , so erhält manm i˙⃗xi · ¨⃗x iDie linke Seite ist nichts anderes als(∣ ∣) = −∑˙⃗x i ·⃗∇ i V ∣⃗xi i j −⃗x j + ˙⃗xi ·⃗K i .j≠im i˙⃗xi · ¨⃗x i = d dtSummiert man alle Gleichungen auf, so erhält man)d 12 m i˙⃗x 2 ni = −∑dt( n∑i=1i=1Für den ersten Term auf der rechten Seite ergibt sich−n∑i=1(∣ ∣) ∑˙⃗x i ·⃗∇ i V ∣⃗xi i j −⃗x j 1 = −j≠i2= − 1 2= − 1 2n∑i=1∑j≠in∑ ∑i=1 j≠ind∑ ∑i=1 j≠idt V i j12 m i˙⃗x 2 i .(∣ ∣) n∑˙⃗x i ·⃗∇ i V ∣⃗xi i j −⃗x j + ∑˙⃗x i ·⃗K i .j≠ii=1˙⃗x i ·⃗∇ i V i j(∣ ∣⃗xi −⃗x j∣ ∣)−12n∑i=1∑j≠i(˙⃗xi ·⃗∇ i + ˙⃗x j ·⃗∇ j)V i j(∣ ∣⃗xi −⃗x j∣ ∣)23(∣ ∣⃗xi −⃗x j∣ ∣).˙⃗x j ·⃗∇ j V ji(∣ ∣⃗x j −⃗x i∣ ∣)