Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

erfüllt. In diesem Fall nennt man V eine Darstellung von G.Beispiel 1: Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und G = GL(n,R). Die Abbildung G×V → Vist durch die Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor gegeben:v ′ i =n∑ M i j v jj=1Beispiel 2: Sei V der Minkowskiraum und G die Lorentzgruppe.x ′ µ= Λµν x ν , (Einsteinsche Summenkonvention)Beispiel 3: Sei V ein n 2 -dimensionaler Vektorraum und G = GL(n,R). Elemente aus V schreibenwir als v i j mit 1 ≤ i, j ≤ n. G wirkt auf V wie folgt:v ′ i j =Man nennt v i j einen Tensor zweiter Stufe.n n∑ ∑k=1 l=1M ik M jl v klBeispiel 4: Sei V ein 16-dimensionaler Raum und G die Lorenzgruppe.T ′ µν= Λ µ ρΛ ν σT ρσT µν ist ein Tensor zweiter Stufe.Beispiel 5: Sei V ein 64-dimensionaler Raum und G die Lorentzgruppe.T ′ µνρ= Λ µ σΛ ν κΛ ρ λ T σκλT µνρ ist ein Tensor dritter Stufe.Allgemein: Ein Tensor ist ein Element eines Vektorraums, auf den eine Gruppenwirkung gegebenist. Die Anzahl der Kopien des Gruppenelements, die zur Definition der Gruppenwirkungbenötigt werden, bezeichnet man als Rang des Tensors.Pseudotensoren verhalten sich bei allen Transformationen, die sich auf Drehungen zurückführenlassen, wie Tensoren. Sie verhalten sich allerdings anders bei Spiegelungen (Raumspiegelung,Zeitumkehr), d.h. Transformationen, die sich nicht auf Drehungen zurückführen lassen: Hier unterscheidensie sich von den Tensoren um ein Minuszeichen.Pseudotensoren nullter Stufe nennt man Pseudoskalare. Pseudotensoren erster Stufe nennt manauch axiale Vektoren.In der speziellen Relativitätstheorie unterscheiden wir außerdem zwischen oberen und unteren71