Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Wir betrachten nun alle möglichen Transformationen von einem Zeitsystem in ein anderes. Seidie Transformation von dem System T in das System T ′ wie oben gegeben durcht ′ = t −t 0und sei weiter eine Transformation von dem System T ′ in ein weiteres System T ′′ gegeben durcht ′′ = t ′ −t 1 ,so definiert die Hintereinanderausführung dieser beiden Transformation eine Transformation vonT nach T ′′ . Die Zeitkoordinaten transformieren sich hierbei wiet ′′ = t −t 0 −t 1 .Ebenso gibt es zu der Transformation von T nach T ′ eine Umkehrtransformation von T ′ nach T ,die durcht = t ′ +t 0beschrieben wird. Desweiteren soll erwähnt werden, daß die (triviale) Transformation von Tnach T durcht= tbeschrieben wird. Aus diesen Tatsachen folgt, daß die Menge aller Transformationen von Zeitsystemeneine Gruppe bilden, die isomorph zu der Abelschen Gruppe (R,+) ist. Wir bezeichnendiese Gruppe als die Gruppe der Zeittranslationen.Solche Transformationsgruppen haben eine fundamentale Bedeutung in der theoretischen Physik.Wir werden später lernen, daß aus der Invarianz eines Systems unter den obigen Zeittransformationendie Energieerhaltung folgt.2.3.3 Der RaumIn der klassischen Mechanik wird der Ortsraum durch einen dreidimensionalen Raum isomorphzu R 3 beschrieben. Ortsvektoren sind Vektoren in diesem Vektorraum:⃗r ∈ R 3 .Der Abstand zweier Punkte ist durch den euklidischen Abstand gegeben:∣ ⃗r −⃗r′ ∣ √= (x − x ′ ) 2 +(y − y ′ ) 2 +(z − z ′ ) 2 .Der Raum ist mit dem euklidischen Skalarprodukt ausgestattet:⃗r ·⃗r ′ = x · x ′ + y · y ′ + z · z ′ .9