Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

4.4.2 Die Kontinuitätsgleichung und die ViererstromdichteDie Kontinuitätsgleichung lautet∂∂t ρ(t,⃗x)+⃗ ∇ ·⃗j(t,⃗x) = 0.Sie gilt in jedem Koordinatensystem. Sie läßt sich mit( )j µ = cρ,⃗jauch als∂ µ j µ = 0.( )Nun ist ∂ µ = 1c ∂∂t ,⃗ ∇ ein kovarianter Vierervektor und ∂ µ j µ ein Skalar. Daher transformiert sichj µ wie ein kontravarianter Vierervektor.4.4.3 Die Maxwellschen GleichungenDie homogenen Maxwellschen Gleichungen:Wir betrachten⃗ ∇ ·⃗B(t,⃗x) = 0,⃗ ∇ × ⃗E(t,⃗x)+ 1 ∂c ∂t ⃗ B(t,⃗x) = 0.∂ λ F µν + ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ = 0Setzen wir λ = 1, µ= 2 und ν = 3 so erhalten wir∂ 1 F 23 + ∂ 2 F 31 + ∂ 3 F 12 = 0,− ∂ ∂x (−Bx ) − ∂ ∂y (−By ) − ∂ ∂z (−Bz ) = 0,⃗ ∇ ⃗B = 0.Dies ist die erste Maxwellsche Gleichung. Jede Permutation von (λ,µ,ν) = (1,2,3) liefert dieseGleichung. Sei nun λ = 0, µ= 1 und ν = 2. Dann erhalten wir∂ 0 F 12 + ∂ 1 F 20 + ∂ 2 F 01 = 0,1 ∂c ∂t (−Bz ) − ∂ ∂x Ey − ∂ ∂y (−Ex ) = 0,∂∂x Ey − ∂ ∂y Ex + 1 ∂c ∂t Bz = 0.92