Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Man erhält⃗x(t) = ⃗x 0 cos(ω 0 t)+ ⃗v 0ω 0sin(ω 0 t).Die rücktreibende Kraft läßt sich als der negative Gradient einer Potentialfunktion darstellen. Mit⃗F= − ⃗ ∇V(⃗x)findet man für V(⃗x):V(⃗x) = 1 2 mω2 0 ⃗x2 .Diese Größe entspricht der potentiellen Energie U des harmonischen Oszillators. Die Potentialfunktionis homogen vom Grad 2:Somit ergibt sich aus dem Virialtheorem:V (λ⃗x) = λ 2 V(⃗x).〈T 〉 = 1 2 E, 〈U〉 = 1 2 E.Wir betrachten noch den harmonischen Oszillator mit Reibung. Wir nehmen an, daß die Reibungskraftproportional zur Geschwindigkeit ist:⃗F friction = −2µm˙⃗x, µ> 0.Die Reibungskraft bremst die Bewegung, daher das Minuszeichen. Berücksichtigt man die Reibungskraft,so liegt kein konservatives System mehr vor. Die Bewegungsgleichung für den harmonischenOszillator mit Reibung lautet:¨⃗x+2µ˙⃗x+ω 2 0⃗x = 0.Dies ist wieder eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Zur Lösung betrachtenwir die Fälle µ 2 < ω 2 0 , µ2 = ω 2 0 und µ2 > ω 2 0 getrennt.1. Fall: µ 2 < ω 2 0 . Dieser Fall beschreibt eine kleine Dämpfung. Ein Lösungsfundamentalsystemist gegeben durch√ϕ 1 (t) = e −µt e iωt , ϕ 2 (t) = e −µt e −iωt , ω = ω 2 0 − µ2 .Die Lösung zu den Anfangsbedingungen⃗x(0) =⃗x 0 und ˙⃗x(0) =⃗v 0 ist gegeben durch⃗x(t) = 1 (⃗x 0 − i )2 ω (⃗v 0 + µ⃗x 0 ) e −µt e iωt + 1 (⃗x 0 + i )2 ω (⃗v 0 + µ⃗x 0 ) e −µt e −iωt= ⃗x 0 e −µt cos(ωt)+ ⃗v 0 + µ⃗x 0e −µt sin(ωt).ω29