Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

wobei r = |⃗x| und ˆx der Einheitsvektor in Richtung von⃗x ist. Für das Newtonsche Gravitationsgesetzistf(r) = − GmMr 2 .Für Zentralkräfte gibt es immer eine Funktion V(r), so daßF x = − ∂ ∂x V (|⃗x|), F y = − ∂ ∂y V (|⃗x|), F z = − ∂ ∂z V (|⃗x|).Beweis: Wir setzenZ rV(r) −V(r 0 ) = − f(r ′ )dr ′ ,r 0wobei r 0 ein beliebiger Bezugswert und V(r 0 ) eine Konstante ist. Wir haben nun:∂V (r) = − f(r)∂r∂x ∂x = − f(r) ∂ √x∂x2 + y 2 + z 2 = − f(r) x r .Gleiches gilt für die Ableitungen nach y und z. Wir bezeichnen die Funktion V als Potential.Eine additive Konstante ist für die Bestimmung der Kraft aus dem Potential irrelevant. Für dasNewtonsche Gravitationsgesetz lautet das PotentialZ (V(r) = − − GmM )r 2 dr = − GmM .rBemerkung: Für Zentralkräfte haben wir die Beziehung⎛ ⎞ ⎛∂F x⃗F = ⎝ F y⎠ ⎜= −⎝F zFühren wir nun den Nabla-Operator⃗ ∇=⎛⎜⎝∂∂x ∂∂y∂∂z∂x V (r)⎞∂∂y V (r)∂∂z V (r)⎞⎟⎠ein, so läßt sich diese Gleichung auch wie folgt schreiben:⎟⎠.⃗F= − ⃗ ∇V(r).Bemerkung: ⃗ ∇ ist ein Operator, der auf eine Größe, wie zum Beispiel eine Funktion, die abgeleitetwerden kann, wirkt. Man sollte diese Größe daher immer mitangeben. Mathematische19