Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Die zweite und letzte Transformation die wir noch betrachten wollen, ist die Zeitumkehr, gegebendurcht ′= −t.Wir haben nun die verschiedenen Grundtransformationen kennengelernt: Verschiebung des Ursprungsder Zeitachse, Verschiebung des Ursprungs des Ortsraumes, Drehung des Ortsraumes,Transformation auf ein mit konstanter Geschwindigkeit bewegtes Bezugssystem, Raumspiegelungund Zeitumkehr. Alle Transformationen, die aus diesen Grundtransformationen erzeugtwerden können, bilden eine Gruppe, die man die Galilei-Gruppe nennt. Die allgemeine Koordinatentransformationder Galilei-Gruppe lautet⃗r ′ = λ 1 R ·⃗r −⃗v ·t −⃗r 0 ,t ′ = λ 2 t −t 0 ,wobei R ∈ SO(3,R),⃗v,⃗r 0 ∈ R 3 , t 0 ∈ R und λ 1 , λ 2 die Werte {−1,1} annehmen. Eine Drehmatrixaus SO(3,R) kann durch die Angabe von drei Parametern (z.B. den Euler-Winkeln) eindeutigbeschrieben werden. Daher sind zur eindeutigen Spezifikation einer Galilei-Transformation dieAngabe von zehn reellen Parametern und zwei Vorzeichen notwendig.Sei nun eine Galilei-Transformation von dem System S in das System S ′ spezifiziert durch dieParameter(R,⃗v,⃗r 0 ,t 0 ,λ 1 ,λ 2 )und sei ausserdem eine weitere Galilei-Tranformation von dem System S ′ in ein drittes SystemS ′′ gegeben durch(R ′ ,⃗v ′ ,⃗r 0 ′ ) ,t′ 0 ,λ′ 1 ,λ′ 2 .Dann gilt für die Parameter(R ′′ ,⃗v ′′ ,⃗r ′′0 ,t′′ 0 ,λ′′1 ,λ′′ 2)der Galilei-Transformation von S nach S ′′ :R ′′ = R ′ · R,⃗v ′′ = λ ′ 1 R′ ·⃗v+λ 2 ⃗v ′ ,⃗r 0 ′′ = λ ′ 1 R′ ·⃗r 0 −⃗v ′ t 0 +⃗r 0 ′ ,t 0 ′′ = λ ′ 2 t 0 +t 0 ′ ,λ ′′1 = λ ′ 1 λ 1,λ ′′2 = λ ′ 2λ 2 .13