Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

2.10 Rotierende BezugssystemeWir haben uns bisher ausschließlich mit Inertialsystemen beschäftigt. In diesen Systemen giltdas erste Newtonsche Gesetz: Ein Teilchen, auf das keine Kraft wirkt, bewegt sich mit konstanterGeschwindigkeit entlang einer geraden Linie. Man kommt von einem Inertialsystem zu einemanderen Inertialsystem durch eine Galilei-Transformation.Wir wollen nun noch eine Klasse von Bezugssystemen diskutieren, die keine Inertialsystemesind. Dies sind die rotierenden Bezugssysteme. Betrachtet man die Erdrotation, so ist einsichtig,daß die rotierenden Bezugssysteme in der Anwendung durchaus ihre Berechtigung haben.Allgemein treten in nicht-Inertialsystemen Scheinkräfte auf. Im Falle eines rotierenden Bezugssystemssind dies die Corioliskraft und die Zentrifugalkraft. Diese Scheinkräfte wollen wir nunherleiten.Sei S ein Inertialsystem und S ′ ein weiteres Koordinatensystem, welches mit der Winkelgeschwindigkeitω = |⃗ω| um die Achse in Richtung von⃗ω rotiert. S ′ ist kein Inertialsystem.Betrachten wir zunächst den Fall, daß ⃗ω in Richtung der z-Achse zeigt, d.h.⃗ω =Dann gilt für die Umrechnung der Koordinatenx ′y ′⎛⎝00ω⎞⎠.= xcos(ωt − ψ)+ysin(ωt − ψ),= −xsin(ωt − ψ)+ycos(ωt − ψ),z ′ = z.ψ is hierbei ein konstanter Winkel, der angibt wie die x-y-Ebenen der Koordinatensysteme zumZeitpunkt t = 0 zueinander orientiert sind.Im allgemeineren Fall zeigt⃗ω in eine beliebige Richtung. Diese können wir durch zwei Winkelangeben:⃗ω⎛= |⃗ω| ⎝sinϑcosϕsinϑsinϕcosϑMan erhält die Koordinatentransformation, indem man zunächst vom System S ausgehend um diez-Achse mit dem Winkel ϕ in ein temporäres System S ′′ mit den Achsen x ′′ , y ′′ und z ′′ = z rotiert.Anschließend rotiert man um die y ′′ -Achse mit dem Winkel (−ϑ) in ein Koordinatensystem S ′′′mit den Achsen x ′′′ , y ′′′ = y ′′ und z ′′′ . Abschließend rotiert man mit dem Winkel ωt − ψ um diez ′′′ -Achse. In Formeln ausgedrückt hat man⎛⎝⎞⎠.x ′y ′z ′ ⎞⎠ = A z (ωt − ψ) B y (−ϑ) C z (ϕ)⎛⎝xyz⎞⎠,50