Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

2.6.3 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der BewegungsgleichungenWir wollen die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der Bewegungsgleichungen noch etwasgenauer diskutieren. Wir betrachten ein System mit n Teilchen. Die Bewegungsgleichungenlautenm i¨⃗xi= ∑⃗F i j +⃗K i .j≠iDies ist ein System von (3n) Differentialgleichungen zweiter Ordnung in den Größenx 1 ,y 1 ,z 1 ,...,x n ,y n ,z n ,t.Wir führen dieses System in ein System von (6n) Differentialgleichungen erster Ordnung über,indem wir die Impulseeinführen. Wir erhalten somit das System⃗p i= m i˙⃗xi˙⃗x i = 1 m i⃗p i ,˙ ⃗p i= ∑⃗F i j +⃗K i .j≠iDies ist ein System von (6n) Differentialgleichungen in den Gr¨ßenFühren wir den Vektorx 1 ,y 1 ,z 1 , p x 1 , py 1 , pz 1 ,...,x n,y n ,z n , p x n , py n , pz n ,t.⃗y = ( x 1 ,y 1 ,z 1 , p x 1 , py 1 , pz 1 ,...,x n,y n ,z n , p x n , py n , pz n) T ,ein, so läß sich dieses System auf die Formddt ⃗y = ⃗G(t,⃗y)bringen. Dies ist die Standardform eines Systems von Differentialgleichungen erster Ordnung.Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen folgt nun aus der Theorie der Differentialgleichungen:Ist ⃗G stetig in t und⃗y und genügt ⃗G einer Lipschitz-Bedingung, so gibt es eine eindeutigeLösung dieser Differentialgleichung zu vorgegebenen Anfangswerten.Bemerkung: Ist ⃗G in den Variablen ⃗y = (x 1 ,..., p z n ) stetig partiell differenzierbar, so erfüllt ⃗Geine Lipschitz-Bedingung. Somit gilt: Ist ⃗G(t,⃗y) in der Variablen t stetig und in den Variablen⃗y = (x 1 ,..., p z n) stetig partiell differenzierbar, dann gibt es eine eindeutige Lösung der Bewegungsgleichungenzu den Anfangswerten⃗x i (t 0 ) und ⃗p i (t 0 ).Bemerkung: Wir bezeichen den Raum aller Koordinaten⃗y = ( x 1 ,y 1 ,z 1 , p x 1 , py 1 , pz 1 ,...,x n,y n ,z n , p x n , py n , pz n) T ,als den Phasenraum eines Systems von n Teilchen. Dieser Phasenraum hat die Dimension (6n).27