Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

wobei die Rotationsmatrizen A z (ωt − ψ), B y (−ϑ) und C z (ϕ) gegeben sind durch⎛cos(ωt − ψ)⎞sin(ωt − ψ) 0A z (ωt − ψ) = ⎝ −sin(ωt − ψ) cos(ωt − ψ) 0 ⎠,0 0 1⎛⎞cosϑ 0 −sinϑB y (−ϑ) = ⎝ 0 1 0 ⎠,sinϑ 0 cosϑ⎛⎞cosϕ sinϕ 0C z (ϕ) = ⎝ −sinϕ cosϕ 0 ⎠.0 0 1Man überprüft leicht, daß nun im System S ′ der Vektor der Winkelgeschwindigkeit⃗ω ′ =⎛0⎝ 0ω⎞⎠lautet. Die Tatsache, daß sich jedes rotierte Koordinatensystem durch die Hintereinanderausführungvon drei einfachen Drehungen in jeweils einer Ebene erzeugen läßt, war schon Eulerbekannt. Üblicherweise wählt man die erste Drehung in der x-y-Ebene, die zweite Drehung inder neuen y-z-Ebene und die dritte Ebene in der aus dem vorherigen Schritt erhaltenen x-y-Ebene.In Formeln:⃗x ′= A z (α) B x (β) C z (γ) ⃗x,wobei⎛A z (α) = ⎝cosα sinα 0−sinα cosα 00 0 1⎞⎛⎠,B x (β) = ⎝1 0 00 cosβ sinβ0 −sinβ cosβDie drei Winkel α, β und γ nennt man die Euler-Winkel.⎞⎛⎠,C z (γ) = ⎝cosγ sinγ 0−sinγ cosγ 00 0 1Bemerkung: Es gibt insgesamt 12 Möglichkeiten, wie die drei Winkel, die die Rotationsmatrixbestimmen, gewählt werden können. Sechs Möglichkeiten sind von der Form A z B x C z , wobeidie erste und die dritte Drehung jeweils vom gleichen Typ ist. Diese Möglichkeiten sind:A z B x C z , A z B y C z , A y B x C y , A y B z C y , A x B y C x , A x B z C x .Bei den anderen sechs Möglichkeiten sind alle Drehungen von unterschiedlichen Typ. Hier habenwirA x B y C z , A x B z C y , A y B x C z , A y B z C x , A z B x C y , A z B y C x .⎞⎠.51