Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Gilt ds = 0 in einem Inertialsystem, so verschwindet ds ′ in einem anderen System ebenfalls. dsund ds ′ sind infinitessimale Größen gleicher Ordnung. Aus diesen beiden Umständen folgt, daßsie zueinander proportional sein müssen:ds 2 = a ds ′2Die Proportionalitätskonstante a kann nicht von den Raum- und Zeitkoordinaten abhängen, dadies der Homogenität von Raum und Zeit widersprechen würde. a kann auch nicht von der Richtungder Relativgeschwindigkeit anhängen, da dies im Widerspruch zur Isotropie des Raumesstehen würde. Daher kann a nur vom Betrag der Relativgeschwindigkeit der beiden Inertialsystemeabhängen. Betrache die Bezugsysteme S, S 1 und S 2 . Sei ⃗v 1 die Geschwindigkeit von S 1relativ zu S, ⃗v 2 die Geschwindigkeit von S 2 relativ zu S und ⃗v 12 die Geschwindigkeit von S 2relativ zu S 1 . Dann giltund daherds 2 = a(v 1 )ds 2 1 , ds2 = a(v 2 )ds 2 2 , ds2 1 = a(v 12)ds 2 2 ,a(v 2 )a(v 1 )= a(v 12 ).Nun hängt v 12 auch vom Winkel zwischen ⃗v 1 und ⃗v 2 ab, die linke Seite dagegen nicht. Dahermuß a(v) gleich einer Konstanten sein, die wie aus derselben Gleichung folgt, gleich 1 sein muß.Daherds 2 = ds ′2 ,und aus der Gleichheit infinitesimaler Abstände folgt auch die endlicher Abstände:s 2 = s ′ 2 .Wir bemerken noch, daß zwei Ereignisse nur dann kausal miteinander verbunden sein können,falls der Abstand zwischen ihnen ≥ 0 ist. Dies folgt unmittelbar daraus, daß sich keine Wirkungmit einer Geschwindigkeit ausbreiten kann, die größer als die des Lichtes ist. Man kann diesauch graphisch darstellen. Hierbei verwendet man der Einfachheit halber oft nur 1 + 1-Raum-Zeit-Dimensionen. Die Zeit (multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit) wird nach oben aufgetragen,der Ort nach rechts. Dies ist in Abbildung 5 gezeigt. Ein Teilchen das ruht, wird durcheine senkrechte Gerade x = const beschrieben. Im Allgemeinen wird in diesem Diagramm einTeilchen durch eine Weltlinie beschrieben. Die Weltlinie eines Teilchens gibt zu jeder Zeit denOrt des Teilchens an. Da sich ein Teilchen höchsten mit Lichtgeschwindigkeit bewegen kann,folgt für die graphische Darstellung einer Weltlinie, daß der Betrage der Steigung einer Weltlinienie kleiner als 1 ist.Wir betrachten noch alle Punkte, die vom Ursprung einen lichtartigen Abstand haben. In 1+1-Raum-Zeit-Dimensionen sind dies alle Punkte, die auf den beiden gezeigten Diagonalen in Abbildung5 liegen. In 2+1-Raum-Zeit-Dimensionen sind dies alle Punkte, die auf einem Kegelmantelliegen. In 3+1-Raum-Zeit-Dimensionen sind dies alle Punkte, für diec 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 = 057