Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

⃗ ∇ × ⃗H(t,⃗x) =f BS4π ⃗ Z∇ x− f BS4πZ( )d 3 x ′ ⃗j(t,⃗x ′ ) ⃗ 1∇ x|⃗x −⃗x ′ |( ) 1d 3 x ′ ⃗j(t,⃗x ′ )∆ x|⃗x −⃗x ′ |Im ersten Term verwendet man( )⃗ 1∇x|⃗x −⃗x ′ |Im zweiten Term benutzt man( ) 1∆ x|⃗x −⃗x ′ |= − ⃗ ∇ x ′( 1)|⃗x −⃗x ′ |= −4πδ ( ⃗x −⃗x ′) .Bemerkung: Die Gleichung ∆1/r = −4πδ(r) verifiziert man für r ≠ 0 durch Differentiation.Es handelt sich hier um zwei Distributionen. Das Verhalten am Ursprung überprüft man durchIntegration über eine Testfunktion. Man integriert über eine Kugel mit Radius ε und verwendetden zweiten Greenschen Satz.Zd 3 x f ∆ 1 r|x|≤ε=Z|x|≤εd 3 x 1 r ∆ f + Z|x|=εd 2 S f ∂ ∂rZ1r −|x|=εd 2 S 1 r∂∂r f.Nun ist d 2 S = r 2 dΩ = r 2 sinθdθdϕ, daher verschwinden der erste und der dritte Term im Grenzfallε → 0.Zd 3 x f ∆ 1 Z= d 2 S f ∂ Z1r∂r r = ε2 dΩ f(ε) ·(− 1 )ε 2 = −4π f(0).|x|≤ε|x|=εEinsetzen der Hilfgleichungen:⃗ ∇ × ⃗H(t,⃗x) = − f BS4π ⃗ ∇ xZd 3 x ′ ⃗j(t,⃗x ′ ) ⃗ ∇ x ′( ) 1|⃗x −⃗x ′ + f BS⃗j(t,⃗x)|Mittels einer partiellen Integration erhält man⃗ ∇ × ⃗H(t,⃗x) =f BS4π ⃗ Z∇ x( ) ( )d 3 x ′ ⃗ ∇x ′⃗j(t,⃗x ′ 1)|⃗x −⃗x ′ + f BS⃗j(t,⃗x)|Bemerkung:⃗ ∇xZ( )d 3 x ′ ⃗ ∇x ′ ⃗j(t,⃗x ′ 1)|⃗x −⃗x ′ |= ⃗ ∇ xZ=ZAA( )dS ⃗j(t,⃗x ′ 1)|⃗x −⃗x ′ · ˆn|dS ⃗j(t,⃗x ′ ) · ˆn ⃗ ∇ x1|⃗x −⃗x ′ | = 0,80