Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

∆ x wirkt nur auf die ungestrichenen Größen und kann vor das Integral gezogen werden:( Z )∆ x d 3 x ′ f(⃗x ′ )G(⃗x,⃗x ′ ) = f(⃗x)Somit istΦ(x) =Zd 3 x ′ f(⃗x ′ )G(⃗x,⃗x ′ )eine Lösung der Gleichung∆Φ(⃗x) = f(⃗x).Fazit: Ist die Greensche Funktion bekannt, kann man auch die Lösungen für einen beliebigeninhomogen Term f(⃗x) konstruieren.Bestimmung der Greenschen Funktion: In der Herleitung der lokalen Form des Gesetzes vonBiot-Savart wurde verifiziert, daßG(⃗x,⃗x ′ ) = − 1 14π |⃗x −⃗x ′ |die Greensche Funktion der Poisson-Gleichung ist. Nun wollen wir eine allgemeine Methode zurBestimmung von Greenschen Funktionen betrachten. Wir gehen von der Differentialgleichungfür die Greensche Funktion aus∆ x G(⃗x,⃗x ′ ) = δ(⃗x −⃗x ′ )und betrachten die Fouriertransformierten:G(⃗x −⃗x ′ ) =δ(⃗x −⃗x ′ ) =ZZd 3 k(2π) 3 e−i⃗ k·(⃗x−⃗x ′ ) ˜G( ⃗ k),d 3 k(2π) 3 e−i⃗ k·(⃗x−⃗x ′ )˜δ( ⃗ k).˜δ( ⃗ k) ist gegeben durch˜δ(⃗k) =Zd 3 xe i ⃗k·(⃗x−⃗x ′) δ(⃗x −⃗x ′ ) = 1.Eingesetzt erhält man∆ xZd 3 k(2π) 3 e−i ⃗k·(⃗x−⃗x ′ ) ˜G(⃗k) =∆ x wirkt nur auf die Exponentialfunktion:Zd 3 k(2π) 3(−| ⃗k| 2 )e −i ⃗k·(⃗x−⃗x ′ ) ˜G(⃗k) =Zd 3 k(2π) 3 e−i ⃗k·(⃗x−⃗x ′) .Zd 3 k(2π) 3 e−i ⃗k·(⃗x−⃗x ′) .87