Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

In der Lorenz-Eichung lauten die inhomogenen Maxwellschen Gleichungen( 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 − ∆ Φ(t,⃗x) = 4πρ(t,⃗x),( 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 − ∆ ⃗A(t,⃗x) = 4π c ⃗ j(t,⃗x),wobeigilt.1c∂∂t Φ(t,⃗x)+⃗ ∇⃗A(t,⃗x) = 0Eine andere Klasse von Eichungen wird durch die Bedingung⃗ ∇ ·⃗A(t,⃗x) = 0festgelegt. Diese Eichung nennt man Coulomb-Eichung.4.3.3 Partielle inhomogene DifferentialgleichungenWir betrachten als Beispiel für eine inhomogene Differentialgleichung die Poisson-Gleichung∆Φ(⃗x) = f(⃗x).Es sei f(⃗x) vorgegeben und wir suchen eine Lösung Φ(⃗x). Eine Lösung erhält man mit Hilfeder Greenschen Funktion. Diese Lösungsmethode ist allgemein und läßt sich auch auf andereGleichungen wie die Helmholtz-Gleichung(∆+ω2 ) Φ(⃗x) = f(⃗x),oder auf die vierdimensionale Verallgemeinerung der Poisson-Gleichung✷Φ(x) = f(x)anwenden. Als Greensche Funktion bezeichnet man eine Lösung der Differentialgleichung, inder auf der rechten Seite eine Delta-Funktion auftritt. Für die Poisson-Gleichung lautet die zugehörigeDifferentialgleichung für die Greensche Funktion∆ x G(⃗x,⃗x ′ ) = δ(⃗x −⃗x ′ ).Multipliziert man beide Seiten mit f(⃗x ′ ) und integriert man über⃗x ′ so erhält manZd 3 x ′ ∆ x(f(⃗x ′ )G(⃗x,⃗x ′ ) ) = f(⃗x)86