Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

ϕ 0 ist eine Integrationskonstante. Somit ergibt sich für r(ϕ):r(ϕ) =1σ(ϕ) = r 01+εcos(ϕ − ϕ 0 ) .Diese Gleichung wollen wir etwas genauer betrachten. Wählen wir unser Koordinatensystem so,daß ϕ 0 = 0 ist, so läßt sich diese Gleichung mit Hilfe voncosϕ= x rwie folgt umformen:r+ εx = r 0 ,x 2 + y 2 = (r 0 − εx) 2 ,(1 − ε2 ) x 2 + 2εr 0 x+y 2 = r 2 0 .Wir betrachten zunächst den Fall ε 2 < 1. Quadratische Ergänzung führt uns auf(x+ ε ) 21 − ε 2 r 0 + y21 − ε 2 =r 2 0(1 − ε 2 ) 2.Setzt manx 0 = −ε1 − ε 2 r 0, a = r 01 − ε 2, b = r 0√ ,1 − ε 2so erhält man(x − x 0 ) 2a 2+ y2b 2 = 1.Diese Gleichung beschreibt eine Ellipse mit den Halbachsen a und b.Betrachten wir dagegen den Fall ε 2 > 1, so erhalten wir mita = r 0ε 2 − 1 , b = r 0√ε 2 − 1 ,(x − x 0 ) 2a 2Diese Gleichung beschreibt eine Hyperbel.− y2b 2 = 1.Es bleibt noch der Fall ε 2 = 1. In diesem Fall haben wir2εr 0 x+y 2 = r 2 0 .36