Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

3.1 PostulateDie spezielle Relativitätstheorie von A. Einstein (1905) basiert auf den folgenden zwei Postulaten:1. Die Gesetze der Mechanik sind in allen Inertialsystemen gleich.2. Die Signalgeschwindigkeit ist gleich der Lichtgeschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit istendlich und hat in jedem Inertialsystem den gleichen Wert c.Bemerkung: Wir erhalten die klassische Mechanik durch den Grenzfall c → ∞. In der NewtonschenMechanik ist die Signalausbreitung instantan, also c = ∞. Außerdem werden wir späterfeststellen, daß sich im Grenzfall v 1 ,v 2 ≪ c die Formel der speziellen Relativitätstheorie für dieAddition zweier Geschwindigkeiten auf die einfache Addition der Newtonschen Mechanik reduziert.Wir bemerken gleich zu Beginn, daß eine endliche Signalausbreitungsgeschwindigkeit wichtigeKonsequenzen für das Konzept der Zeit hat: In der Newtonschen Mechanik unterscheidet sichdie Zeitkoordinate in verschiedenen Inertialsystemen höchstens durch eine Zeittranslation undder Zeitumkehrtransformation. In allen Fällen gilt aber im Rahmen der Newtonschen Mechanik:Finden in einem Inertialsystem S zwei Ereignisse an den Orten⃗x 1 und⃗x 2 gleichzeitig zu der Zeitt = t 1 = t 2 statt, so finden diese Ereignisse auch in allen anderen Initialsystemen, die aus S durcheine Galileitransformation hervorgehen, zu einer gleichen Zeit statt. Diese Aussage gilt in derspeziellen Relativitätstheorie nicht mehr, wie die folgende Überlegung zeigt: Wir betrachten zweiInertialsysteme S und S ′ , wobei sich S ′ gegebüber S mit konstanter Geschwindigkeit v entlang derx-Achse bewegt. Zum Zeitpunkt t = 0 sollen die beiden Koordinatensysteme zusammenfallen.Wir betrachten nun im System S ′ zwei Raumpunkte, die vom Urpsrung gleichweit entfernt sind,wobei der erste Raumpunkt A auf der positiven x-Achse mit den Koordinaten⃗x ′ 1= (l,0,0) liegt,während der zweite Raumpunkt B auf der negativen x-Achse mit den Koordinaten⃗x ′ 2 = (−l,0,0)liegt. Senden wir zu der Zeit t ′ = 0 ein Lichtsignal vom Ursprung in alle Richtungen aus, soerreicht dieses Signal im System S ′ die Punkte A und B gleichzeitig. Im System S dagegen wirddas Lichtsignal den Punkt B früher erreichen als den Punkt A. Wir sehen also, daß der Begriff derGleichzeitigkeit in der speziellen Relativitätstheorie abhängig vom gewählten Bezugssystem ist.3.2 Abstand, Metrik und VierervektorenIn der speziellen Relativitätstheorie ist ein Ereignis durch den Ort an dem es stattfindet unddurch den Zeitpunkt an dem es geschieht charakterisiert. Wir können also ein Ereignis durch dieAngabe von drei Ortskoordinaten und einer Zeitkoordinate in einem vier-dimensionalen Raumbeschreiben.Wir betrachten wieder zwei Inertialsysteme S und S ′ , die sich möglicherweise gegeneinandermit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Wir betrachten zunächst im System S ein erstes Ereignis,das darin besteht daß vom Punkt (x 1 ,y 1 ,z 1 ) zur Zeit t 1 ein Lichtsignal ausgesandt wird.55