Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Setzen wir l z = l so haben wir also˙ϕ = lµr 2.Setzen wir dies in den Energieerhaltungssatz ein, so erhalten wir12 µṙ2 + l2+V(r) = const,2µr2 Der Term l 2 /(2µr 2 ) hängt nur von r, aber nicht von ṙ oder ˙ϕ ab. Da V(r) ebenfalls nur von rabhängt, können wir ein neues “effektives” Potential definieren:Somit können wir schreibenV eff (r) = V(r)+ l22µr 2.12 µṙ2 +V eff (r) = E,wobei wir die Gesamtenergie der Relativbewegung gleich E gesetzt haben. Für r(t) erhalten wiralso die Differentialgleichung√ddt r(t) = 2µ (E −V eff(r)).Diese Differentialgleichung hängt nur von r(t), aber nicht von ϕ(t) ab. Wir haben also das Problemauf eine Differentialgleichung erster Ordnung in einer Variablen reduziert. Hat man r(t)durch Lösen dieser Differentialgleichung bestimmt, so ergibt sich ϕ(t) durch Lösen der Differentialgleichungddt ϕ(t) =lµr(t) 2.Wir können auch die beiden Differentialgleichungen miteinander kombinieren und betrachtenhierzu zunächst dr/dϕ:Durch Integration erhalten wirdrdrdϕ = dtdϕdt= r2 √2µ(E −Veff (r)).lϕ − ϕ 0= lr(ϕ) Zr 0drr 2√ 2µ(E −V eff (r)) .34