Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Sind die Kräfte so beschaffen, daß kein Teilchen gegen Unendlich entweicht und kein Teilchenzu keinem Zeitpunkt einen unendlich großen Impuls besitzt, so sind die Werte, die das Virialannehmen kann, beschränkt. In diesem Fall giltDann folgtund somitn∑i=1m i〈 (˙⃗xi (t) ) 2 〉 =〈T 〉 = 1 2n∑i=1〈Ġ〉 = 0.n∑i=1〈〉⃗x i (t) ·⃗∇ i V (⃗x 1 ,...,⃗x n ) ,〈〉⃗x i (t) ·⃗∇ i V (⃗x 1 ,...,⃗x n ) .Dies ist das Virialtheorem. Man nennt die Funktion V (⃗x 1 ,...,⃗x n ) homogen vom Grade k fallsV (λ⃗x 1 ,...,λ⃗x n ) = λ k V (⃗x 1 ,...,⃗x n )gilt. Ist das Potential eine homogene Funktion vom Grade k in den Argumenten⃗x 1 ,...,⃗x n , so läßtsich zeigen, daßn∑i=1⃗x i (t) ·⃗∇ i V (⃗x 1 ,...,⃗x n ) = kgilt. Somit vereinfacht sich der Virialsatz in diesem Fall zu〈T 〉 = k 2 〈U〉.Kombiniert man dies mit dem Energieerhaltungssatzso ergibt sichFür k = 2 erhält man zum Beispielwährend man für k = −1erhält.〈T 〉+〈U〉 = E,n∑i=1V (⃗x 1 ,...,⃗x n )〈T 〉 = k2E, 〈U〉 =k+ 2 k+ 2 E.〈T 〉 = 1 2 E, 〈U〉 = 1 2 E,〈T 〉 = −E, 〈U〉 = 2E26