Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Schreiben wir die Bewegungsgleichungen auf die Variablen⃗x und ⃗X um, so ergibt sich zunächstdurch Addition der beiden Gleichungen¨⃗X = ⃗0.Hier haben wir ⃗F 21 = −⃗F 12 ausgenutzt. Der Schwerpunkt bewegt sich also geradlinig gleichförmig.Diesen Sachverhalt haben wir zuvor schon durch die allgemeine Betrachtung von n-Teilchensystemen ohne äußere Kräfte hergeleitet. Interessanter ist die Bewegungsgleichung fürdie Relativbewegung⃗x:m 1 m 2 ¨⃗x = ⃗F 12 .m 1 + m 2Man bezeichnetµ = m 1m 2m 1 + m 2als reduzierte Masse. Setzt man noch ⃗F = ⃗F 12 so erhält man die Bewegungsgleichung der Relativbewegung:µ¨⃗x= ⃗F.Dies entspricht der Bewegungsgleichung eines Teilchens in einem äußeren Kraftfeld ⃗F. Wirhaben durch die geschickte Aufspaltung der Koordinaten in Schwerpunktskoordinaten und Relativkoordinatenerreicht, daß die Bewegungsgleichungen entkoppeln: Der Schwerpunkt bewegtsich geradlinig gleichförmig, die Relativbewegung entspricht der Bewegung eines Teilchens ineinem äußeren Kraftfeld. Man sagt daher auch, daß das Zweikörperproblem auf ein Einteilchenproblemin einem äußeren Feld reduziert werden kann.⃗F ist die Kraft, die durch das Teilchen 2 auf das Teilchen 1 wirkt. Bezüglich der Relativkoordinaten⃗xist diese Kraft (anti)-parallel zu⃗x gerichtet, es handelt sich also um eine Zentralkraft.Wir können daher⃗F= − ⃗ ∇Vschreiben. Für Zentralkräfte ist der Drehimpuls⃗ l= µ⃗x × ˙⃗xerhalten, daddt ⃗ l = µ˙⃗x × ˙⃗x+µ⃗x × ¨⃗x = 0+0 = 0.(Wir haben hier ein kleines ⃗ l gewählt, da sich der Drehimpuls in diesem Fall auf die Relativkoordinaten⃗xbezieht.) Die Bewegung erfolgt also in einer Ebene senkrecht zu⃗l. Wir können dasKoordinatensystem so wählen, so daß für⃗x(t) = (x(t),y(t),z(t))z(t) = 032