Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Beziehungen, in denen die Größe auf die ein Operator wirkt fehlt, machen nur Sinn, wenn sie füralle möglichen Größen des Problems (wie zum Beispiel für alle Testfunktionen) gelten.Ist f(x,y,z) eine skalare Funktion der Variablen x, y und z, so bezeichnet man ⃗ ∇ f als Gradientender Funktion f . Man schreibt auchgrad f = ⃗ ∇ f.Wir betrachten ein Teilchen der Masse m in einem Zentralpotential V(r). Die Kraft auf das Teilchenist ⃗F = − ⃗ ∇V und parallel zu⃗x. Der Drehimpuls des Teilchens ist gegeben durch⃗L= m⃗x × ˙⃗x.Für die zeitliche Änderung des Drehimpuls erhält man˙ ⃗L = m˙⃗x × ˙⃗x+m⃗x × ¨⃗x = m⃗x × ¨⃗x =⃗x ×⃗F = −⃗x × ⃗ ∇V = 0.Wir erhalten somit die wichtige Aussage, daß für ein Teilchen, daß sich in einem Zentralpotentialbefindet, der Drehimpuls erhalten ist.2.5.2 Konservative KräfteWir haben bereits gesehen, daß sich eine Zentralkraft immer als der (negative) Gradient einesPotentials schreiben läßt. Wir interessieren uns nun ganz allgemein für alle Kräfte, die sich indieser Form ausdrücken lassen.Definition: Unter einer konservativen Kraft versteht man eine Kraft, welche sich als der negativeGradient eines zeitunabhängigen Potentials V (⃗x) schreiben läßt:⃗F= − ⃗ ∇V (⃗x).Für konservative Kräfte gilt, dass die Arbeit die entlang eines Weges von⃗x 0 nach⃗x geleistet wird,nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängt, aber vom Weg unabhängig istFür einen geschlossenen Weg γ gilt somit:IZ ⃗x⃗x 0⃗F · d⃗r = −[V (⃗x) −V (⃗x 0 )].γ⃗F · d⃗r = 0.Es gilt auch die Umkehrung: Hängt das Wegintegral nur vom Anfangs- und Endpunkt ab, abernicht vom Weg, so läß sich die Kraft als (negativer) Gradient eines Potentials schreiben.20