Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Wir spezifizieren nun das Potential und betrachten das Newtonsche Gravitationsgesetz. Somitgilt für das effektive PotentialWir möchten die GleichungV eff = −G m 1m 2r+ l22µr 2.( ) dr 2 (= r4dϕ l 2 · 2µ E + G m 1m 2−rlösen. Hier ist es einfacher, zunächst die Funktionzu betrachten:= 2µEl 2 r4 + 2µGm 1m 2l 2 r 3 − r 2σ(ϕ) = 1r(ϕ) ,dσdϕ = − 1 r 2 drdϕ)l22µr 2( ) dσ 2= 2µEdϕ l 2 + 2µGm 1m 2 1l 2 r − 1 r 2 = 2µEl 2 + 2µGm 1m 2l 2 σ − σ 2 .Führt man noch die Hilfsgrößenr 0 =l 2Gm 1 m 2 µ ,ε = √√1+ 2El2G 2 m 2 1 m2 2 µ = 1+ 2Eµr2 0l 2ein, wobei r 0 die Dimension einer Länge hat und ε dimensionslos ist, so erhält manWir schreiben diese Gleichung noch um:Diese Gleichung hat die Lösung( ) dσ 2= ε2 − 1dϕ r02 + 2r 0 r − 1 r 2 = ε2 − 1r02 + 2σ − σ 2 .r 0wie man leicht durch Differenzieren überprüft:( ) dσ 2+(σ − 1 ) 2= ε2dϕ r 0 r02 .σ(ϕ) = 1 r 0+ ε r 0cos(ϕ − ϕ 0 ),dσdϕ = − ε r 0sin(ϕ − ϕ 0 ).35