Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

− ⃗ ∇Φ ′ (t,⃗x) − 1 (∂c ∂t ⃗ A ′ (t,⃗x) = − ⃗ ∇ Φ(t,⃗x) − 1 )∂c ∂t χ(t,⃗x) − 1 ∂(⃗ A(t,⃗x)+c ∂t⃗ ∇χ(t,⃗x))= − ⃗ ∇Φ(t,⃗x) − 1 ∂c ∂t ⃗ A(t,⃗x) = ⃗E(t,⃗x).Eine Transformation des TypsΦ ′ (t,⃗x) = Φ(t,⃗x) − 1 ∂c ∂t χ(t,⃗x),⃗A ′ (t,⃗x) = ⃗A(t,⃗x)+ ⃗ ∇χ(t,⃗x),heißt Eichtransformation der Potentiale. Eine Eichtransformation läßt das elektrische Feld unddas Induktionsfeld unverändert.Man kann die Eichtransformationen benutzen, um zusätzliche Bedingungen an die PotentialeΦ und ⃗A zu stellen. Eine übliche Forderung ist zum Beispiel1c∂∂t Φ(t,⃗x)+⃗ ∇⃗A(t,⃗x) = 0.Erfüllt das skalare Potential und das Vektorpotential diese Gleichung, so sagt man, daß die Potentialein der Lorenz-Eichung 1 sind. Man kann beliebige Potentiale Φ und⃗A in die Lorenz-Eichungbringen, indem man eine Eichfunktion χ als Lösung der inhomogenen DifferentialgleichungBeweis:1c( 1c 2 ∂ 2∂∂t Φ′ (t,⃗x)+ ⃗ ∇⃗A ′ (t,⃗x) = 1 c( 1=c= 0.∂t 2 − ∆ )χ(t,⃗x) = 1 c(∂Φ(t,⃗x) − 1 ∂t c∂∂t Φ(t,⃗x)+⃗ ∇⃗A(t,⃗x)∂∂t Φ(t,⃗x)+⃗ ∇⃗A(t,⃗x).)∂∂t χ(t,⃗x) + ⃗ ∇(⃗ A(t,⃗x)+ ⃗ )∇χ(t,⃗x))( 1 ∂ 2 )−c 2 ∂t 2 − ∆ χ(t,⃗x)Bemerkung: Die Lorenz-Bedingung legt die Potentiale noch nicht eindeutig fest, sondern definiertnur eine Klasse von Potentialen. So hat man noch immer die Freiheit, weitere Eichtransformationenmit einer Eichtransformation, die( 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 − ∆ χ(t,⃗x) = 0erfüllt, auszuführen. Beweis analog zu oben.1 Ludvig Valentin Lorenz (1829-1891); Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)85