Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Übliche Abkürzungen:β = v c , γ = 1√ .1 − v2c 2Damit lassen sich die Koordinatentransformation und die Rücktransformation wie folgt ausdrücken:ct ′ = γct − βγx, ct = γct ′ + βγx ′ ,x ′ = −βγct + γx, x = βγct ′ + γx ′ .Die obige Koordinatentransformation in der t-x-Ebene bezeichnet man als einen Lorentz-Boost.Darüberhinaus gibt es die entsprechenden Transformationen für die t-y-Ebene und die t-z-Ebene.3.4 Die Lorentz- und die Poincaré-GruppeIn der Newtonschen Mechanik hatten wir die Galilei-Gruppe als die Gruppe der Koordinatentransformationenbetrachtet, die die Gesetze der Newonschen Mechanik invairant lassen. Wirübertragen dies nun auf die spezielle Relativitätstheorie. Die entsprechende Gruppe in der speziellenRelativitätstheorie bezeichnet man als die Poincaré-Gruppe. Im wesentlichen müssen wirhierbei die Galilei-Transformation zwischen zwei zueinander bewegten Bezugssystemen durcheinen Lorentz-Boost ersetzen. Wir haben bereits gesehen, daß sich ein Lorentz-Boost und eineDrehung einfach durch eine Matrizenmultiplikation schreiben lassen. Die Untergruppe derPoincaré-Gruppe, die sich durch Matrizenmultiplikation darstellen läß bezeichnet man als dieLorentz-Gruppe.Wir beginnen mit der Definition der Lorentzgruppe: Dies ist die Matrixgruppe von 4 × 4-Matrizen Λ µ ν, welche den metrischen Tensor g µν = diag(1,−1,−1,−1) invariant läßt:oder, etwas ausführlicher mit Indizes:Λ T gΛ = g,Λ µ σg µν Λ ν τ = g στ .Diese Definition hat die folgende Motivation: Die Matrix Λ µ ν definiert eine Koordinatentransformationx ′ µ = Λµν x ν .Für das Skalarprodukt zweier Vierervektoren giltx ′ · y ′ = x ′ µ gµν y ′ ν =(Λµσ x σ) g µν (Λ ν τ y τ ) = x σ( Λ µ σg µν Λ ν τ)y τ = x σ g στ y τ = x · y.62