Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Hierbei istR =⎛⎝⎞R 11 R 12 R 13R 21 R 22 R 23⎠R 31 R 32 R 33eine orthogonale 3 × 3 Matrix mit Determinante 1:R T · R = 1, detR = 1.Die Matrix R beschreibt eine Drehung des Koordinatensystems.Sei nun R 1 die Matrix der Drehung, die die Transformation des Koordinatensystems O nachO ′ beschreibt. Sei R 2 eine weitere Drehmatrix, die die Transformation des KoordinatensystemsO ′ nach O ′′ beschreibt. Die Hintereinanderausführung beschreibt nun eine Transformation vonO nach O ′′ . Die ensprechende Drehmatrix ist durch das MatrizenproduktR 3 = R 2 · R 1gegeben. R 3 ist wieder eine orthogonale Matrix mit Determinante Eins:R −13= (R 2 · R 1 ) −1 = R −11· R −12= R T 1 · RT 2 = (R 2 · R 1 ) T = R T 3 ,detR 3 = det(R 2 · R 1 ) = (detR 2 ) ·(detR 1 ) = 1 · 1 = 1.Zu jeder Drehtransformation mit Drehmatrix R existiert eine Umkehrtransformation, deren Drehmatrixdurch R −1 gegeben ist. Ferner beschreibt die Einheitsmatrix 1 die triviale Transformation,die ein Koordinatensystem O in sich selbst überführt. Daher bilden die Drehtransformationen eineGruppe, die man als die spezielle orthogonale GruppeSO(3,R)bezeichnet. SO(3,R) enthält alle reellen 3×3-Matrizen, die orthogonal sind und für die detR = 1gilt. In der Bezeichnung “SO(3,R)” steht das “O” für die Orthogonalitätsbedingungwährend das “S” für die zusätzliche BedingungR T · R = 1,detR = 1steht. Die Verknüpfung in dieser Gruppe ist durch die Matrizenmultiplikation gegeben. Hierbeiist zu beachten, daß die Multiplikation im allgemeinen nicht kommutativ ist:R 1 · R 2 ≠ R 2 · R 1 .Im Zusammenhang mit physikalischen Systemen bezeichnen wir diese Gruppe als RotationsoderDrehgruppe. Ist ein physikalisches System invariant unter der Rotationsgruppe, so folgt11