Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

2. Fall: µ 2 = ω 2 0. In diesem Fall lautet das Lösungsfundamentalsystemϕ 1 (t) = e −µt , ϕ 2 (t) = te −µt .Die Lösung zu den Anfangsbedingungen⃗x(0) =⃗x 0 und ˙⃗x(0) =⃗v 0 ist gegeben durch⃗x(t) = ⃗x 0 e −µt +(⃗v 0 + µ⃗x 0 )te −µt .Den Fall µ 2 = ω 2 0 bezeichnet man als aperiodischen Grenzfall.3. Fall: µ 2 > ω 2 0. In diesem Fall lautet das Lösungsfundamentalsystemϕ 1 (t) = e −µ 1t , ϕ 2 (t) = e −µ 2t , µ 1 = µ+√µ 2 − ω 2 0 , µ 2 = µ−√µ 2 − ω 2 0 .Die Lösung zu den Anfangsbedingungen⃗x(0) =⃗x 0 und ˙⃗x(0) =⃗v 0 ist gegeben durch⎛ ⎞ ⎛ ⎞⃗x(t) = 1 ⎝⃗x 0 − ⃗v 0 + µ⃗x 0√ ⎠e −µ 1t + 1 2µ 2 − ω 2 20Den Fall µ 2 > ω 2 0 bezeichnet man als Kriechfall.⎝⃗x 0 + ⃗v 0 + µ⃗x 0√µ 2 − ω 2 0⎠e −µ 2t .Zu guter Letzt betrachten wir noch den Fall, daß auf den harmonischen Oszillator eine periodischeäußere Kraft der Form⃗K = m⃗Acos(ω ext t)wirkt. In diesem Fall handelt es sich um kein abgeschlossenes System mehr. Wir behandeln nurden Fall einer schwachen Dämpfung: µ 2 < ω 2 0. Es empfiehlt sich über den komplexen Zahlen zuarbeiten und die äußere Kraft als den Realteil einer komplexwertigen Funktion zu betrachten:(⃗K) = Re m⃗Ae iω extt.Dies führt uns auf die Differentialgleichung¨⃗x+2µ˙⃗x+ω 2 0 ⃗x = ⃗Ae iω extt .Wir können annehmen, daß ω ext reell und positiv ist. Wie bereits oben gezeigt, ist das Fundamentalsystemder homogenen Gleichung gegeben durch√ϕ 1 (t) = e −µt e iωt , ϕ 2 (t) = e −µt e −iωt , ω = ω 2 0 − µ2 .Wir unterscheiden zwei Fälle. Im ersten Fall ist µ> 0 oder ω ext ≠ ω. Im zweiten Fall ist µ= 0 undω ext = ω. Beginnen wir mit dem ersten Fall. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichunglautet[⃗x(t) = Re ⃗Aω2 0 − ω2 ext − 2iµω ext(ω20− ω 2 ) 2e iωextt +⃗c 1 e −µt e iωt +⃗c 2 e −µt e].−iωtext + 4µ 2 ω 2 ext30