Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Ein Element der Lorentz-Gruppe läßt also das Minkowski-Skalarprodukt zwischen zwei Vierervektoreninvariant. Diese Lorentz-Gruppe wird auch mit O(1,3) bezeichnet. Wie leicht zu sehenist, giltund daher(det Λ) 2 = 1,det Λ = ±1.Gilt zusätzlich det Λ = 1 bezeichnet man die Gruppe mit SO(1,3) und spricht von der eigentlichenLorentzgruppe.Eine weitere Unterscheidung ergibt sich dadurch, ob die Zeitrichtung erhalten bleibt oder umgekehrtwird. GiltΛ 0 0 ≥ 1,so ist die Zeitrichtung erhalten und man spricht von der orthochronen Lorentzgruppe. Gilt dagegenΛ 0 0 ≤ −1,so wird die Zeitrichtung umgekehrt.Bemerkung:∣ Λ00∣ ∣ ≥ 1folgt aus Λ µ σg µν Λ ν τ = g στ für σ = τ = 0:(Λ00) 2−3∑j=1(Λ j 0) 2= 1.Zusammenfassend läßt sich sagen, daß die Lorentzgruppe aus vier Komponenten besteht, jenachdemwelche Wertedet Λ und Λ 0 0annehmen. Hiervon ist die “eigentliche orthochrone Lorentzgruppe”, definiert durchΛ µ σg µν Λ ν τ = g στ , det Λ = 1, Λ 0 0 ≥ 1,am interessantesten. Die drei anderen Komponenten lassen sich durch ein Element der eigentlichenorthochronen Lorentzgruppe und den beiden diskreten Transformationen der Zeitumkehr⎛ ⎞−1 0 0 0Λ µ ν = ⎜ 0 1 0 0⎟⎝ 0 0 1 0 ⎠0 0 0 163