Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Schreiben wir außerdemp µ= (E/c,⃗p),wobei E die Gesamtenergie des Teilchens und ⃗p dessen Dreierimpuls bezeichnet, so giltE =√mc2 , ⃗p = √m⃗v1 − v21 − v2c 2Wir betrachten diese Ausdrücke für kleine Geschwindigkeiten. Für den Dreierimpuls gilt[ ( v2)]⃗p = m⃗v 1+Oc 2 .Somit geht ⃗p für kleine Geschwindigkeiten in den nicht-relativistischen Ausdruck m⃗v über. Zubeachten ist jedoch daß für Geschwindigkeiten in der Größendordnung der Lichtgeschwindigkeitder Faktor 1/ √ 1 − v 2 /c 2 nicht mehr vernachläßigt werden kann. Dies hat zur Folge daß derImpuls ⃗p stärker als linear mit der Geschwindigkeit anwächst. Man sagt auch, daß die “relativistische”Masse des Teilchens zunimmt:m rel =m√ .1 − v2c 2Entwickelt man E für kleine Geschwindigkeiten, so findet manE = mc 2 + 1 ( v2 mv2 + mc 2 4)Oc 4 .Man findet also die nicht-relativistische kinetische Energie 1/2mv 2 plus einen konstanten Termmc 2 , den man als die Ruhenergie des Teilchens bezeichnet. Um m von der relativistischen Massem rel zu unterscheiden, verwendet man auch den Begriff “Ruhemasse” für m. Befindet sich einTeilchen in Ruhe (⃗v = 0), so gilt für die Energie des TeilchensE = mc 2 .Dies ist wohl die bekannteste Formel Albert Einsteins.Die relativistische Verallgemeinerung des zweiten Newtonschen Gesetzes lautet:ddτ pµ = K µ ,wobei man K µ als Viererkraft bezeichnet. Für die räumlichen Komponenten der Viererkraft giltK i =1√ F i .1 − v2c 269c 2 .