Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Diese Gleichung beschreibt eine Parabel.Wir erinnern uns an die Definition von ε:Somit können wir zusammenfassen:ε 2 = 1+ 2El2G 2 m 2 1 m2 2 µ.• Ist die Gesamtenergie der Relativbewegung E < 0, so ist die Bahn eine Ellipse.• Ist E = 0, so ist die Bahn eine Parabel.• Ist E > 0, so ist die Bahn eine Hyperbel.Im ersten Fall spricht man von einer gebundenen Bahn, in den anderen beiden Fällen von einerungebundenen Bahn.2.8.1 Die Keplerschen GesetzeWir gehen nun näher auf die gebundenen Bahnen ein und betrachten insbesondere die Planetenbahnenim Sonnensystem. Hierbei wollen wir die Kräfte der anderen Planenten auf einenPlaneten vernachlässigen, so daß wir ein Zweikörpersystem Sonne-Planet haben. Da wir an gebundenBahnen interessiert sind, folgt unmittelbar das erste Keplersche Gesetz:Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen.Bewegt sich der Planet von⃗x nach⃗x+d⃗x, so überstreicht der Ortsvektor die FlächedA= 1 |⃗x × d⃗x|.2Pro Zeiteinheit haben wir alsodAdt= 1 2∣ ⃗x × ˙⃗x∣ ∣.Nun ist allerdings⃗x × ˙⃗x = ⃗ l/µ und da der Drehimpuls erhalten ist, folgtdAdt= const.Wir haben somit das zweite Keplersche Gesetz:Der Ortsvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.Die Fläche einer Ellipse mit den Halbachsen a und b ist A = πab. Diese Fläche wird in dervollen Umlaufzeit T überstrichen. Es gilt alsoAT = l2µ .37