Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

oder∂Φ 1∂ ˆn∣ = ∂Φ 2F∂ ˆn ∣ , NeumannFBetrachte nun U = Φ 2 (⃗x) − Φ 1 (⃗x). Es gilt∆U(⃗x) = 0,U| F = 0, Dirichlet∂U∣ = 0, Neumann∂ ˆn∣FAus dem ersten Greenschen SatzZ (d 3 x Φ∆Ψ+ ⃗ )∇Φ ·⃗∇ΨV(A)=ZAdS Φ ∂Ψ∂ ˆn .folgt mit Φ = Ψ = U:ZV(A)d 3 x(⃗∇U ·⃗ ∇U)} {{ }≥0=ZAdS U ∂U∂ ˆn .Das Oberflächenintegral auf der rechten Seite gleich Null. Daher giltZ ( )d 3 x ⃗∇U ·⃗ ∇U = 0,V(A)und da der Integrand nicht negativ sein kann, folgt⃗ ∇U = 0.Daher ist U in V konstant. Für das Dirichletsche Randwertproblem gilt U = 0 auf F, und da Ukonstant ist, auch in V. Somit ist die Lösung eindeutig. Für das Neumannsche Randwertproblemkönnen sich zwei Lösungen um eine additive Konstante unterscheiden.4.4 Die Maxwellschen Gleichungen in kovarianter Form4.4.1 Die Lorentzkraft und der FeldstärketensorZur Erinnerung: Vierergeschwindigkeit⎛u µ = dxµds = ⎝√1 ⃗v, √1 − v2 c 1 − v2c 289⎠ = γ(1, 1 )c ⃗v .c 2 ⎞