Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

invariant läßt. Aufgrund der pseudo-euklidischen Metrik mit negativen Vorzeichen erhalten wirhier hyperbolische trigometrische Funktionen:ct ′x ′= ct coshφ − xsinhφ,= −ct sinhφ+xcoshφ.Man überzeugt sich leicht, daß diese Transformation tatsächlich die gewünschte Eigenschaft hat:c 2 t ′ 2 − x′2= c 2 t 2( cosh 2 φ − sinh 2 φ ) − x 2 ( cosh 2 φ − sinh 2 φ ) = c 2 t 2 − x 2 .Man schreibt diese Transformation in Viererschreibweise auch alsx ′ µ = Λµν x ν ,mitΛ µ ν =⎛⎜⎝coshφ −sinhφ 0 0−sinhφ coshφ 0 00 0 1 00 0 0 1⎞⎟⎠ .Analog gibt es zwei weitere Transformation in der t-y-Ebene und in der t-z-Ebene.Bestimmung von φ: Betrachte hierzu den Koordinatenursprung des Systems S ′ im System S:und daherSomitIm Grenzfall v ≪ c giltsinhφ =0 = −ct sinhφ+xcoshφ.tanhφ = x ct = v c .vc√1 − v2c 2 , coshφ =1√ .1 − v2c 2sinhφ = v (c +O v3)( v2)c 3 , coshφ = 1+Oc 2 ,und somit erhält man in diesem Grenzfall die Galilei-Transformation zurück:( ) 1t ′ = t +Oc 2 ,( ) 1x ′ = x − vt +Oc 2 .61