Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

für alle Zeiten t gilt. Für die x- und y-Koordinate führen wir die Parametrisierungx(t) = r(t)cosϕ(t),y(t) = r(t)sinϕ(t).Als erstes stellen wir fest, daß˙⃗x 2 = ṙ 2 + r 2 ˙ϕ 2gilt:˙⃗x 2 =[ ddt (r(t)cosϕ(t)) ] 2+[ ddt (r(t)sinϕ(t)) ] 2= (ṙ cosϕ − r ˙ϕsinϕ) 2 +(ṙ sinϕ+r ˙ϕcosϕ) 2 = ṙ 2 + r 2 ˙ϕ 2 .Als nächstes stellen wir fest, daß für die kinetische Energie gilt (mit M = m 1 + m 2 ):12 m 1˙⃗x 2 1 + 1 2 m 2˙⃗x 2 2 = 1 (2 m 1˙⃗X + m ) 22 ˙⃗x + 1 (m 1 + m 2 2 m 2˙⃗X − m ) 21 ˙⃗xm 1 + m 2= 1 2 M ˙⃗X 2 + 1 2 µ˙⃗x 2 .Wir haben ein abgeschlossenes System, daher ist die Gesamtenergie erhalten:Nun ist aberT +V = const,12 M ˙⃗X 2 + 1 2 µ˙⃗x 2 +V = const.12 M ˙⃗X 2 = ⃗ P 22M ,wobei ⃗P der Gesamtimpuls ist. In einem abgeschlossenen System ist aber auch der Gesamtimpulserhalten, und somit auch die kinetische Energie des Schwerpunktes. Somit folgt:bzw.12 µ˙⃗x 2 +V(r) = const,12 µ( ṙ 2 + r 2 ˙ϕ 2) +V(r) = const,Wie bereits erwähnt, ist auch der Drehimpuls ⃗ l erhalten. Der Drehimpuls ist gegeben durchl x = 0, l y = 0,l z = µrcosϕ(ṙ sinϕ+r ˙ϕcosϕ) − µrsinϕ(ṙ cosϕ − r ˙ϕsinϕ) = µr 2 ˙ϕ.33