Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

Insbesondere suchen wir die in der speziellen Relativitätstheorie korrekte Transformationsformelfür den Fall, daß sich das System S ′ mit konstanter Geschwindigkeit gegenüber dem SystemS bewegt. Nehmen wir an, daß sich das System S ′ mit der Geschwindigkeit v entlang derx-Achse gegenüber dem System S bewegt. Wir rufen nochmals in Erinnerung, daß die Galilei-Transformationx ′ = x − vt, y ′ = y, z ′ = z, t ′ = tzum Widerspruch führt, da in diesem Fall sich die Geschwindigkeiten addieren würden.Um die korrekte Transformation zu finden, nutzen wir aus, daß das Abstandsquadrat vom Bezugssystemunabhängig ist:s 2 ab = g µν (x a − x b ) µ (x a − x b ) ν .Die gesuchten Koordinatentransformationen müssen also dieses Abstandsquadrat invariant lassen.Man sieht sofort, daß die Operationen der Zeitranslation, der Ortstranslation, der Zeitumkehrsowie der Raumspiegelung das Abstandsquadrat invariant lassen. Diese Operationen ändern sichbeim Übergang von der Newtonschen Mechanik zu der speziellen Relativitätstheorie nicht. Dasgleiche gilt auch für Drehungen der Ortskoordinaten. Betrachten wir den Fall, daß das System S ′gegenüber dem System S in den Ortskoordinaten um den Winkel ϕ um die z-Achse gedreht ist,so lautet die Transformationx ′y ′= xcosϕ+ysinϕ,= −xsinϕ+ycosϕ,z ′ = z,t ′ = t.Betrachten wir das Abstandsquadrat des Punktes (ct,x,y,z) vom Ursprung, so läß diese Transformationdas Abstandsquadratc 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2invariant, dax ′ 2 + y′2= x 2( cos 2 ϕ+sin 2 ϕ ) + y 2( cos 2 ϕ+sin 2 ϕ ) = x 2 + y 2 .Hier haben wir eine Drehung in der x-y-Ebene betrachtet. Gleiches gilt für die beiden anderenunabhängigen Drehungen in der x-z-Ebene bzw. in der y-z-Ebene.In der vier-dimensionalen Raumzeit suchen wir nun zunächst ein Analogon dieser Drehungenin der t-x-Ebene. Diese Transformation soll die y- und die z-Koordinaten invariant lassen. Gesuchtist also eine Transformation der Koordinaten t und x, welchec 2 t 2 − x 260