Theoretische Physik 1 - THEP Mainz

und somitϑ ∗= π − 2arcsin−a√a 2 + 4b + 2arcsin −ar min − 2b 2√ 2 r min a 2 + 4b 2.Nun ist das Argument der zweiten Arkussinusfunktion geradesowie arcsin(−1) = −π/2 und somit−ar min − 2b 2r min√a 2 + 4b 2 = −1,ϑ ∗= −2arcsin−a√a 2 + 4b 2.Wir lösen nun nach b auf und erhaltenb(ϑ ∗ ) =a2tan ϑ∗2Somit ergibt sich der differenzielle Wirkungsquerschnitt zudσdϑ ∗ = 2π b(ϑ ∗ )∣.db(ϑ ∗ ∣) ∣∣∣dϑ ∗ = 1 4ϑ∗cos2πa2sin 3 .ϑ∗2Gibt man den Wirkungsquerschnitt pro Raumwinkelelement im Schwerpunktssystem an dΩ ∗ =2πsinϑ ∗ dϑ ∗ und benutzt man sinϑ ∗ = 2sin(ϑ ∗ /2)cos(ϑ ∗ /2), so lautet das ResultatdσdΩ ∗ =Dies ist die Formel von Rutherford.a 216sin 4 ϑ∗2= κ2 Q 2 i Q2 j16E 2 sin 4 .ϑ∗2Bemerkungen: Der Wirkungsquerschnitt hängt nicht von den Vorzeichen der Ladungen ab, dadie Ladungen im Quadrat eingehen.Würde man über alle Streuwinkel integrieren, um den totalen Wirkungsquerschnitt zu berechnen,so wird man auf ein divergentes Integral geführt. Der totale Wirkungsquerschnitt wäre alsounendlich groß. Der unendliche Beutrag kommt von der Region kleiner Streuwinkel ϑ ∗ = 0.Die Divergenz des totalen Wirkungsquerschnittes ist auf die langreichweitige Kraft eines 1/r-Potentials zurückzuführen. Kleine Streuwinkel entsprechen großen Stoßparametern. Im totalenWirkungsquerschnitt zählt man auch Teilchen, die mit sehr großen Stoßparametern fast nicht abgelengtwerden. In einem physikalischen Experiment wird aber immer der Stoßparameter nachoben beschränkt sein, z.B. durch die Abmessungen des Strahlrohres. Dies impliziert eine untereGrenze ϑ ∗ min für den Streuwinkel. Integriert man dσ/dϑ∗ von ϑ ∗ minbis π, so erhält man einendliches Ergebnis.49