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33 onde o primeiro membro refere-se ao coeficiente da propriedade ( φ ) no volume de controle principal; os dois primeiros termos do segundo membro referem-se aos coeficientes vizinhos da propriedade ( φ ) nos volumes anterior (oeste) e posterior (leste) ao volume principal, e o último termo refere-se ao coeficiente do termo fonte. A quarta etapa é a obtenção da solução numérica por meio da resolução do sistema de equações algébricas representado pela Eq. (2.4), em que P = 1, K, N , onde N representa o número de volumes de controle. Essa resolução pode ser obtida de modo direto ou iterativo (MALISKA, 1995), dependendo do solver (FERZIGER e PERIC, 2002) e do tipo de problema (linear ou não-linear) escolhido. 2.2 TIPO DE CONDIÇÃO DE CONTORNO A Eq. (2.4) representa uma equação aproximada para um volume de controle genérico ( P ). Porém com o emprego de esquemas de aproximações numéricas obtém-se a solução da propriedade ( φ ) somente nos volumes internos do domínio. Quando o tratamento da propriedade ( φ ) é no primeiro ou no último volume de controle, independente da forma de aplicação, surge a necessidade de incorporar as condições de contorno para resolução do problema. Os três tipos de condições de contorno utilizados na literatura, inclusive em transferência de calor e de massa, para resolver equações diferenciais parciais, são as condições de contorno: de Dirichlet, quando a propriedade ( φ ) é conhecida no contorno; de Neumann, quando o fluxo da propriedade ( φ ) é conhecido no contorno; e de Robin, quando a condição de contorno é mista (PATANKAR, 1980; WEISSTEIN, 2009). O tipo de condição de contorno de Dirichlet foi utilizado neste trabalho, devido à facilidade em discretização e implementação, já que os valores da propriedade ( φ ) nos contornos eram conhecidos, fazendo com que o modelo numérico tivesse uma solução analítica disponível para posterior análise com a solução numérica. Fisicamente, uma condição de contorno unidimensional é especificada em x = 0 e em x = L . A condição de contorno de Dirichlet corresponde a uma situação na qual os extremos do domínio se encontram à uma propriedade ( φ ) fixa ou constante ( φ ) c . A condição de contorno de Dirichlet pode ser denominada condição de contorno de primeira espécie. Na
34 prática, a situação descrita por essa condição ocorre de forma aproximada quando, por exemplo, o extremo do domínio está em contato imediato com um sólido em fusão ou com um líquido em ebulição. Nos dois casos há transferência de calor entre os meios físicos, que permanecem à temperatura do processo de mudança de fase. Matematicamente, um número satisfatório de condições de contorno para cada equação diferencial governante é necessário. Esse número depende da ordem da equação diferencial no espaço. A condição de contorno de Dirichlet para um regime permanente, é representada por: onde a propriedade ( ) ( x = 0 ) φc e φ ( x L) = φc φ = φ em x = 0 e em x = L assume um valor constante. = (2.5) 2.3 FORMAS DE APLICAR CONDIÇÕES DE CONTORNO Não basta apenas utilizar um tipo de condição de contorno nas aproximações numéricas para deduzir os coeficientes e os termos fontes, é necessário escolher a forma com a qual a condição de contorno será incorporada ao realizar a discretização geométrica, ou seja, ao gerar a malha numérica. Abaixo estão descritas quatro formas de aplicar ou incorporar o tipo de condição de contorno que são freqüentemente empregadas em problemas de dinâmica de fluidos computacional, e que fazem parte do objeto de estudo deste trabalho. São elas: sem volume fictício; com volume fictício; com meio-volume; com volume de espessura zero. 2.3.1 Condições de Contorno Aplicadas Sem Volume Fictício A aplicação das condições de contorno sem volume fictício é realizada por meio da integração das equações de conservação para todos os volumes de controle do domínio, incorporando os volumes dos contornos, que tem uma face adjacente a um volume interno e a outra face sobre o contorno (PATANKAR, 1980; MALISKA, 1995).
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