fabiana de fátima giacomini - PG-Mec Programa de Pós-Graduação ...

73
O procedimento empregado a priori é que as magnitudes dos erros de truncamento e
suas ordens de convergência são obtidas por aproximações numéricas realizadas nas faces dos
volumes de controle do volume principal (Fig. 2.1) (MARCHI e SILVA, 2000). Para realizar
uma aproximação para a incógnita utilizando uma função de interpolação é necessário a
expansão de uma série em torno das faces leste e oeste. Essa série é conhecida como série de
Taylor (KREYSZIG, 1999) e é representada por:
1 ( N
( ) ) N
φ x = φ ( x0
)( x − x0
)
(3.41)
N!
∑ ∞
N = 0
onde x − x0
representa a distância ∆ x . Portanto assumindo as notações:
⎛ ∆x
⎞ ⎛ ∆x
⎞
φ
e
= φ( x)
; φ
P
= φ⎜
x − ⎟ ; φ
E
= φ⎜
x + ⎟ (3.42)
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
e considerando a malha uniforme, as aproximações da incógnita para os volumes ( P ) e ( E )
em torno da face ( e ) são dadas por:
2
3
4
5
6
I ∆x
II ∆x
III ∆x
IV ∆x
V ∆x
VI ∆x
φ
P
= φe
−φe
+ φe
−φe
+ φe
−φe
+ φe
−K (3.43)
2 8 48 384 3840 46080
2
3
4
5
6
I ∆x
II ∆x
III ∆x
IV ∆x
V ∆x
VI ∆x
φ
E
= φe
+ φe
+ φe
+ φe
+ φe
+ φe
+ φe
+ K (3.44)
2 8 48 384 3840 46080
Somando as Eqs. (3.43) e (3.44), chega-se ao valor da Eq. (3.45), onde o primeiro termo do
segundo membro representa a aproximação do esquema CDS-2 para o termo advectivo, dado
pela Eq. (2.14), constante no capítulo 2. Os termos restantes da série representam o valor do
erro de truncamento, dado pela Eq. (3.46).
( φ + φ )
P E 1 II 2 1 IV 4 1 VI 6
φ
e
= − φe
∆x
− φe
∆x
− φe
∆x
−K
(3.45)
2 8 384 46080
1 II 2 1 IV 4 1 VI 6
ε τ
[ φe
] = − φe
∆x
− φe
∆x
− φe
∆x
−K
(3.46)
8 384 46080
Portanto as ordens verdadeiras do erro de truncamento são representadas pelos expoentes que
estão sobre os tamanhos dos volumes de controle ( ∆ x)
da Eq. (3.46), dados por
pV = 2,4,6,K, sendo a ordem assintótica dada pelo menor dos expoentes ( pL = 2)
.