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6. Herleitungen 6. Herleitungen 6.1 Herleitungen zur Maximum Likelihood Methode Beim Einbeziehen der neuen Messungen in die Maximum Likelihood Gleichungen (Kapi- + ∂ $x k tel 3.1.5) müssen die score-Gleichungen − und ∂α m ∂ + P ( k) bestimmt werden. Die Gleichun- ∂α m gen und dazugehörigen Numerierungen sind der ‘Zusammenfassung der Gleichungen für die Maximum Likelihood Methode’ im Kapitel 3.1.5 entnommen. Folgende Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend der besseren Übersichtlichkeit wegen verwendet A( k) → A , ... . Herleitung von Glg. [B.ii.3] + ∂ $x k d.h. Berechnung von − . Ausgehend von Glg. [B.i.1] und Glg. [B.i.2] ergibt sich: ∂α − T Mit K = P ⋅ C ⋅ P m −1 yy folgt −− [ ] x$ = x$ + K ⋅ y − C ⋅ x$ + − − k k k k [ k k ] + − − T 1 x$ = x$ + P ⋅ C ⋅ P ⋅ y − C⋅ x$ k k und Ausmultiplizieren ergibt: − − yy −− + − − T −1 − T 1 x$ = x$ + P ⋅ C ⋅ P ⋅ y − P ⋅ C ⋅ P ⋅ C ⋅ x$ k k yy −− k − − yy k −− [6.1.1] [6.1.2] [6.1.3] Seite 127
6.1 Herleitungen zur Maximum Likelihood Methode Diese Gleichung wird nun nach den unbekannten Parametern abgeleitet: ∂ x$ ∂ x$ − k − = ∂α ∂α + − m −1 − T ∂ Pyy ∂ P T −1 − ∂ C −1 − T −− + ⋅ C ⋅ Pyy ⋅ y + P ⋅ ⋅ P y P C y ∂α k yy ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ∂α k ∂α k −− −− −1 − T ∂ P ∂ P ∂ C yy T −1 − − −1 − − T −− − ⋅ C ⋅ P C x$ P P C x$ P C C x$ yy ⋅ ⋅ k − ⋅ ⋅ yy ⋅ ⋅ k − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ k − ∂α −− ∂α −− ∂α P − k m m m ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − C x T ∂ ∂ $ C P x$ P C P C ∂α −1 − − T −1 yy −− ∂α m k yy −− −1 − T Mit Glg. [62] und P = C ⋅ P ⋅ C + R folgt: ∂ P −1 yy −− ∂α m yy −− m −1 T −1 ⎡ ∂ C − T ∂ P T − ∂ C ∂ R ⎤ = − Pyy ⋅⎢ ⋅ P ⋅ C + C ⋅ ⋅ C + C ⋅ P ⋅ + P −− ⎣∂α m ∂α m ∂α m ∂α ⎥⋅ m ⎦ Setzt man Glg. [6.1.5] in Glg. [6.1.4] ein und mit r = y − C⋅ x − $ folgt: + ∂ x$ ∂ x$ − k ⎡ − T − ⎤ − = I − P ⋅ C ⋅ Pyy ⋅ C ∂α ⎣ ⎢ ⎦ ⎥ ⋅ −− ∂α m − m − k m k k k m m −1 yy −− T − − ∂ C − ∂ P T − + P ⋅ ⋅ Pyy ⋅ r k + ⋅ C ⋅ Pyy ⋅ r k − ∂α −− ∂α −− 1 k 1 1 m −1 T ⎡ ∂ C ∂ P ∂ C ∂ R ⎤ − T −1 − T T − −1 P ⋅ C ⋅ Pyy ⋅⎢ ⋅ P ⋅ C + C ⋅ ⋅ C + C ⋅ P ⋅ + ⎥⋅ Pyy ⋅ r −− ⎣∂α m ∂α m ∂α m ∂α m ⎦ −− − T −1 C − P ⋅ C ⋅ Pyy ⋅ ⋅ x k −− ∂ $ ∂α −1 Wiedereinführen von K und E1 = Pyy ⋅ r − m −− m ergibt ∂ x$ ∂ x$ − k k ∂ P T ∂ P T = [ I − K ⋅ C] ⋅ C E K C C E ∂α ∂α ∂α ∂α − + − − −1 + ⋅ ⋅ 1 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 + m P m m T T ∂ C ∂ C ∂ C T ⋅ ⋅ E1 − K ⋅ C ⋅ P ⋅ ⋅ E1 − K ⋅ ⋅ P ⋅ C ⋅ E1 − ∂α ∂α ∂α − − − m ∂ R ∂ C K ⋅ ⋅ E K x$ 1 − ⋅ ⋅ ∂α ∂α m m und anschließendes Zusammenfassen: − k m m m m k − [6.1.4] [6.1.5] [6.1.6] [6.1.7] Seite 128
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Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichn
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Inhaltsverzeichnis 4.2.1.1.3 Sensit
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Nomenklatur C Koeffizienten c spezi
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Nomenklatur HFM5 Heißfilmluftmasse
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Abstract Filter with a non-linear s
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1. Einleitung Der Einsatz physikali
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2.1 Der Luftpfad SaugrohrAnsaugluft
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2.2 Der Kraftstoffpfad Somit muß
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2.3 Direkte Prozeßinformationen Wa
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2.3 Direkte Prozeßinformationen In
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2.4 Zusammenfassung 1. Es ist keine
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3. Adaptive Kalman-Filter Kalman-Fi
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3. Adaptive Kalman-Filter Für die
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3. Adaptive Kalman-Filter Die Kovar
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3. Adaptive Kalman-Filter Startwert
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3. Adaptive Kalman-Filter 6WDELOLWl
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3. Adaptive Kalman-Filter � �+
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3. Adaptive Kalman-Filter Prozeßra
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3. Adaptive Kalman-Filter ⎡∂ I
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3. Adaptive Kalman-Filter 10 5 0 -5
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3. Adaptive Kalman-Filter ∂ $ ⎡
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3. Adaptive Kalman-Filter 20 10 0 -
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3. Adaptive Kalman-Filter Extended
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4.1 Kalman-Filter zur Bestimmung de
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4.1 Kalman-Filter zur Bestimmung de
Seite 87 und 88: 4.1 Kalman-Filter zur Bestimmung de
Seite 95 und 96: 4.2 Ein adaptives Kalman-Filter zur
Seite 135 und 136: 4.3 Zusammenfassung 4.3 Zusammenfas
Seite 137: 5. Zusammenfassung merziellen Einsa
Seite 141 und 142: 6.2 Zahlenwerte und Fehlerabschätz
Seite 143 und 144: 6.3 Lineares Kalman-Filter zur Best
Seite 145 und 146: Literaturangaben Literaturangaben L
Seite 147 und 148: Literaturangaben [Fox, 1993] Fox J.
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