Nomenklatur - im ZESS
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3. Adaptive Kalman-Filter<br />
�<br />
�+<br />
1<br />
∫<br />
−<br />
3 ( W 3 WW GW 3 W<br />
�+ ) = &<br />
1 ( ) ⋅ + ( ) mit 3W ( ) = 3 ( W)<br />
�<br />
�<br />
� �<br />
+<br />
�<br />
�<br />
Die Matrix ) stellt die Linearisierung der Funktion I in Glg. [3.2.3] um einen Arbeitspunkt<br />
dar:<br />
∂ I ( [ ( W), X( W), W)<br />
) (,$( W[WW))<br />
=<br />
− −<br />
�<br />
∂ [<br />
−<br />
In diesen Gleichungen werden die wesentlichen Unterschiede des Extended Kalman-Filters<br />
zum linearen Kalman-Filter, wie es <strong>im</strong> vorigen Kapitel verwendet wird, deutlich.<br />
Allgemein kann festgehalten werden, daß das Extended Kalman-Filter sich weniger für Zustandsraummodellierungen<br />
eignet, bei denen die Information alleine aus den Messungen<br />
kommt und die Systemmodellierung ungenau ist (d.h. große Kovarianzmatrix des Prozeßrauschens).<br />
Bei einem hinreichend gutem Systemmodell und hohem Meßrauschen ergeben sich<br />
dagegen sehr gute Schätzwerte.<br />
3.3 Vergleich beider Ansätze an einem Benchmark-Problem<br />
Nachfolgend soll die Leistungsfähigkeit des ausgewählten linearen adaptiven Kalman-Filters,<br />
der Methode nach Max<strong>im</strong>um Likelihood, mit der des nichtlinearen Kalman-Filters, dem Extended<br />
Kalman-Filter, verglichen werden. Besonderer Wert wird auf die Stabilität der Verfahren<br />
in Abhängigkeit der Startwerte und der Prozeßrauschkomponenten gelegt.<br />
=XVWDQGVUDXPPRGHOO GHV %HQFKPDUNV<br />
Zeitdiskretes Zustandsraummodell<br />
⎡[<br />
1(<br />
N + 1)<br />
⎤ ⎡ 0 1 ⎤ [ 1(<br />
N)<br />
0<br />
⎢<br />
ZN ( )<br />
[ 2( N + 1)<br />
⎥ = ⎢<br />
⎣ ⎦ −08 . −D<br />
⎥ ⋅<br />
⎣<br />
1⎦[<br />
2 ( N)<br />
1<br />
⎡ ⎤<br />
⎢ ⎥ +<br />
⎣ ⎦<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎤<br />
⎥ ⋅<br />
⎦<br />
[ ( N)<br />
\N ( ) = [ ] ⋅ YN ( )<br />
[ ( N)<br />
⎡ 1 ⎤<br />
1 0 ⎢ ⎥ +<br />
⎣ 2 ⎦<br />
[3.2.7]<br />
[3.2.8]<br />
[3.3.1]<br />
[3.3.2]<br />
Der Zustand [ 1 ist der um einen Abtastpunkt verzögerte Zustand [ 2 . Der Zustand [ 2 wird<br />
‘getrieben’ von gaußschem weißem Rauschen.<br />
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